Задача 5
Осевым сечением цилиндра является квадрат с диагональю \(6\sqrt{2}/\pi^2\). Найдите объем цилиндра.
Решение:
1. Осевое сечение цилиндра – это прямоугольник, проходящий через ось цилиндра. В данном случае это квадрат.
2. Пусть сторона квадрата равна \(a\). Диагональ квадрата \(d\) связана со стороной формулой \(d = a\sqrt{2}\).
3. По условию, диагональ квадрата равна \(6\sqrt{2}/\pi^2\).
Значит, \(a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}/\pi^2\).
4. Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{2}\):
\(a = 6/\pi^2\).
5. В осевом сечении цилиндра сторона квадрата \(a\) равна высоте цилиндра \(H\) и диаметру основания \(2R\).
То есть, \(H = a\) и \(2R = a\).
6. Отсюда, высота цилиндра \(H = 6/\pi^2\).
7. Радиус основания цилиндра \(R = a/2 = (6/\pi^2)/2 = 3/\pi^2\).
8. Объем цилиндра \(V\) вычисляется по формуле \(V = \pi R^2 H\).
9. Подставим значения \(R\) и \(H\) в формулу объема:
\(V = \pi \cdot (3/\pi^2)^2 \cdot (6/\pi^2)\)
\(V = \pi \cdot (9/\pi^4) \cdot (6/\pi^2)\)
\(V = (54\pi) / (\pi^4 \cdot \pi^2)\)
\(V = (54\pi) / \pi^6\)
\(V = 54 / \pi^5\)
Ответ: Объем цилиндра равен \(54/\pi^5\).
Задача 7
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны \(7/\pi\). Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
Решение:
1. Цилиндр описан около прямой призмы. Это означает, что основания призмы вписаны в основания цилиндра, а высота цилиндра равна высоте призмы.
2. В основании призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами \(a = 6\) и \(b = 8\).
3. Найдем гипотенузу \(c\) этого треугольника по теореме Пифагора:
\(c^2 = a^2 + b^2\)
\(c^2 = 6^2 + 8^2\)
\(c^2 = 36 + 64\)
\(c^2 = 100\)
\(c = \sqrt{100} = 10\).
4. Если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то его гипотенуза является диаметром этой окружности.
Значит, диаметр основания цилиндра \(D = c = 10\).
5. Радиус основания цилиндра \(R = D/2 = 10/2 = 5\).
6. Высота цилиндра \(H\) равна длине бокового ребра призмы.
По условию, боковые ребра равны \(7/\pi\).
Значит, \(H = 7/\pi\).
7. Объем цилиндра \(V\) вычисляется по формуле \(V = \pi R^2 H\).
8. Подставим значения \(R\) и \(H\) в формулу объема:
\(V = \pi \cdot 5^2 \cdot (7/\pi)\)
\(V = \pi \cdot 25 \cdot (7/\pi)\)
\(V = (25 \cdot 7 \cdot \pi) / \pi\)
\(V = 25 \cdot 7\)
\(V = 175\)
Ответ: Объем цилиндра, описанного около этой призмы, равен 175.