Контрольная работа №1. Вариант 1. Решение

Вот решения задач из контрольной работы. Контрольная работа №1 «Алгебраическая дробь» Вариант 1 1. Сократить дробь: а) \( \frac{14a^4b^6}{49a^3b^2} \) Решение: Разделим числитель и знаменатель на общие множители. Числа: \( 14 \) и \( 49 \) делятся на \( 7 \). \( 14 \div 7 = 2 \) \( 49 \div 7 = 7 \) Степени \( a \): \( a^4 \) и \( a^3 \). Сокращаем на \( a^3 \). \( a^4 \div a^3 = a^{4-3} = a^1 = a \) \( a^3 \div a^3 = 1 \) Степени \( b \): \( b^6 \) и \( b^2 \). Сокращаем на \( b^2 \). \( b^6 \div b^2 = b^{6-2} = b^4 \) \( b^2 \div b^2 = 1 \) Получаем: \( \frac{14a^4b^6}{49a^3b^2} = \frac{2 \cdot a \cdot b^4}{7} = \frac{2ab^4}{7} \) Ответ: \( \frac{2ab^4}{7} \) б) \( \frac{3x}{x^2 + 4x} \) Решение: В знаменателе вынесем общий множитель \( x \) за скобки. \( x^2 + 4x = x(x + 4) \) Теперь дробь выглядит так: \( \frac{3x}{x(x + 4)} \) Сократим \( x \) в числителе и знаменателе. Получаем: \( \frac{3}{x + 4} \) Ответ: \( \frac{3}{x + 4} \) в) \( \frac{y^2 - z^2}{2y + 2z} \) Решение: Числитель \( y^2 - z^2 \) — это разность квадратов, которую можно разложить как \( (y - z)(y + z) \). В знаменателе \( 2y + 2z \) вынесем общий множитель \( 2 \) за скобки: \( 2(y + z) \). Теперь дробь выглядит так: \( \frac{(y - z)(y + z)}{2(y + z)} \) Сократим \( (y + z) \) в числителе и знаменателе. Получаем: \( \frac{y - z}{2} \) Ответ: \( \frac{y - z}{2} \) 2. Представьте в виде дроби: а) \( \frac{3x - 1}{x^2} + \frac{x - 9}{3x} \) Решение: Чтобы сложить дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для \( x^2 \) и \( 3x \) будет \( 3x^2 \). Для первой дроби: \( \frac{3x - 1}{x^2} \). Домножим числитель и знаменатель на \( 3 \). \( \frac{(3x - 1) \cdot 3}{x^2 \cdot 3} = \frac{9x - 3}{3x^2} \) Для второй дроби: \( \frac{x - 9}{3x} \). Домножим числитель и знаменатель на \( x \). \( \frac{(x - 9) \cdot x}{3x \cdot x} = \frac{x^2 - 9x}{3x^2} \) Теперь сложим дроби: \( \frac{9x - 3}{3x^2} + \frac{x^2 - 9x}{3x^2} = \frac{9x - 3 + x^2 - 9x}{3x^2} \) Приведем подобные слагаемые в числителе: \( 9x - 9x = 0 \). Получаем: \( \frac{x^2 - 3}{3x^2} \) Ответ: \( \frac{x^2 - 3}{3x^2} \) б) \( \frac{1}{2a - b} - \frac{1}{2a + b} \) Решение: Чтобы вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет произведением знаменателей: \( (2a - b)(2a + b) \). Для первой дроби: \( \frac{1}{2a - b} \). Домножим числитель и знаменатель на \( (2a + b) \). \( \frac{1 \cdot (2a + b)}{(2a - b)(2a + b)} = \frac{2a + b}{(2a - b)(2a + b)} \) Для второй дроби: \( \frac{1}{2a + b} \). Домножим числитель и знаменатель на \( (2a - b) \). \( \frac{1 \cdot (2a - b)}{(2a + b)(2a - b)} = \frac{2a - b}{(2a + b)(2a - b)} \) Теперь вычтем дроби: \( \frac{2a + b}{(2a - b)(2a + b)} - \frac{2a - b}{(2a + b)(2a - b)} = \frac{(2a + b) - (2a - b)}{(2a - b)(2a + b)} \) Раскроем скобки в числителе, помня, что минус перед скобкой меняет знаки: \( 2a + b - 2a + b = 2b \) Знаменатель \( (2a - b)(2a + b) \) — это разность квадратов: \( (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2 \). Получаем: \( \frac{2b}{4a^2 - b^2} \) Ответ: \( \frac{2b}{4a^2 - b^2} \) в) \( \frac{5}{c + 3} - \frac{5c - 2}{c^2 + 3c} \) Решение: Сначала разложим знаменатель второй дроби на множители: \( c^2 + 3c = c(c + 3) \). Теперь дроби выглядят так: \( \frac{5}{c + 3} - \frac{5c - 2}{c(c + 3)} \). Общий знаменатель будет \( c(c + 3) \). Первую дробь \( \frac{5}{c + 3} \) домножим на \( c \). \( \frac{5 \cdot c}{(c + 3) \cdot c} = \frac{5c}{c(c + 3)} \) Теперь вычтем дроби: \( \frac{5c}{c(c + 3)} - \frac{5c - 2}{c(c + 3)} = \frac{5c - (5c - 2)}{c(c + 3)} \) Раскроем скобки в числителе: \( 5c - 5c + 2 = 2 \) Получаем: \( \frac{2}{c(c + 3)} \) Ответ: \( \frac{2}{c(c + 3)} \) 3. Выполнить действия: А) \( \frac{24a^4}{c^3} \cdot \frac{c^4}{8a^4} \) Решение: При умножении дробей числители умножаются с числителями, а знаменатели со знаменателями. \( \frac{24a^4 \cdot c^4}{c^3 \cdot 8a^4} \) Сократим общие множители. Числа: \( 24 \) и \( 8 \). \( 24 \div 8 = 3 \). Степени \( a \): \( a^4 \) в числителе и \( a^4 \) в знаменателе сокращаются полностью. Степени \( c \): \( c^4 \) в числителе и \( c^3 \) в знаменателе. Сокращаем на \( c^3 \). \( c^4 \div c^3 = c^{4-3} = c \) Получаем: \( \frac{3c}{1} = 3c \) Ответ: \( 3c \) Б) \( \frac{7xy^2}{2} : 14x^2y^2 \) Решение: Деление на выражение равносильно умножению на обратное этому выражению. \( 14x^2y^2 = \frac{14x^2y^2}{1} \) Обратное выражение: \( \frac{1}{14x^2y^2} \) Теперь умножим: \( \frac{7xy^2}{2} \cdot \frac{1}{14x^2y^2} = \frac{7xy^2 \cdot 1}{2 \cdot 14x^2y^2} = \frac{7xy^2}{28x^2y^2} \) Сократим общие множители. Числа: \( 7 \) и \( 28 \). \( 28 \div 7 = 4 \). Степени \( x \): \( x \) в числителе и \( x^2 \) в знаменателе. Сокращаем на \( x \). \( x \div x = 1 \) \( x^2 \div x = x \) Степени \( y \): \( y^2 \) в числителе и \( y^2 \) в знаменателе сокращаются полностью. Получаем: \( \frac{1}{4x} \) Ответ: \( \frac{1}{4x} \) В) \( \frac{m + 2n}{m - n} \cdot \frac{m^2 - n^2}{5m + 10n} \) Решение: Разложим на множители числитель второй дроби: \( m^2 - n^2 = (m - n)(m + n) \). Разложим на множители знаменатель второй дроби: \( 5m + 10n = 5(m + 2n) \). Теперь выражение выглядит так: \( \frac{m + 2n}{m - n} \cdot \frac{(m - n)(m + n)}{5(m + 2n)} \) Умножим числители и знаменатели: \( \frac{(m + 2n)(m - n)(m + n)}{(m - n)5(m + 2n)} \) Сократим общие множители: \( (m + 2n) \) и \( (m - n) \). Получаем: \( \frac{m + n}{5} \) Ответ: \( \frac{m + n}{5} \) Г) \( \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 25} : \frac{x - 1}{x^2 + 5x} \) Решение: Сначала разложим на множители все выражения. Числитель первой дроби: \( x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \). Это квадрат разности. Знаменатель первой дроби: \( x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) \). Это разность квадратов. Знаменатель второй дроби: \( x^2 + 5x = x(x + 5) \). Вынесли общий множитель. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{(x - 1)^2}{(x - 5)(x + 5)} : \frac{x - 1}{x(x + 5)} \) Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь. \( \frac{(x - 1)^2}{(x - 5)(x + 5)} \cdot \frac{x(x + 5)}{x - 1} \) Умножим числители и знаменатели: \( \frac{(x - 1)^2 \cdot x(x + 5)}{(x - 5)(x + 5)(x - 1)} \) Сократим общие множители: \( (x - 1) \) (один раз) и \( (x + 5) \). Получаем: \( \frac{x(x - 1)}{x - 5} \) Ответ: \( \frac{x(x - 1)}{x - 5} \) 4. Упростить выражение: А) \( \left( \frac{a^2 + b^2}{ab} + 2 \right) \cdot \frac{ab}{a + b} \) Решение: Сначала выполним действие в скобках. Приведем \( 2 \) к общему знаменателю \( ab \). \( 2 = \frac{2ab}{ab} \) Теперь в скобках: \( \frac{a^2 + b^2}{ab} + \frac{2ab}{ab} = \frac{a^2 + b^2 + 2ab}{ab} \) Числитель \( a^2 + b^2 + 2ab \) — это квадрат суммы: \( (a + b)^2 \). Значит, выражение в скобках равно: \( \frac{(a + b)^2}{ab} \) Теперь умножим: \( \frac{(a + b)^2}{ab} \cdot \frac{ab}{a + b} \) Сократим \( ab \) и \( (a + b) \) (один раз). Получаем: \( a + b \) Ответ: \( a + b \) Б) \( \left( a + b - \frac{2ab}{a + b} \right) \cdot \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} \) Решение: Сначала выполним действие в скобках. Приведем \( a + b \) к общему знаменателю \( a + b \). \( a + b = \frac{(a + b)(a + b)}{a + b} = \frac{(a + b)^2}{a + b} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a + b} \) Теперь в скобках: \( \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a + b} - \frac{2ab}{a + b} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 - 2ab}{a + b} = \frac{a^2 + b^2}{a + b} \) Теперь умножим на вторую дробь. Разложим знаменатель второй дроби: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \). Выражение становится: \( \frac{a^2 + b^2}{a + b} \cdot \frac{a^2 + b^2}{(a - b)(a + b)} \) Умножим числители и знаменатели: \( \frac{(a^2 + b^2)(a^2 + b^2)}{(a + b)(a - b)(a + b)} = \frac{(a^2 + b^2)^2}{(a + b)^2(a - b)} \) Ответ: \( \frac{(a^2 + b^2)^2}{(a + b)^2(a - b)} \) В) \( \left( \frac{m}{mn - n^2} - \frac{1}{m - n} \right) : \frac{n}{n - m} \) Решение: Сначала выполним действие в скобках. Разложим знаменатель первой дроби: \( mn - n^2 = n(m - n) \). Теперь выражение в скобках: \( \frac{m}{n(m - n)} - \frac{1}{m - n} \) Приведем к общему знаменателю \( n(m - n) \). Вторую дробь домножим на \( n \). \( \frac{m}{n(m - n)} - \frac{1 \cdot n}{(m - n) \cdot n} = \frac{m - n}{n(m - n)} \) Сократим \( (m - n) \) в числителе и знаменателе. Выражение в скобках равно: \( \frac{1}{n} \) Теперь выполним деление. Обратите внимание, что \( n - m = -(m - n) \). Значит, \( \frac{n}{n - m} = \frac{n}{-(m - n)} = -\frac{n}{m - n} \). Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь. Обратная дробь для \( -\frac{n}{m - n} \) будет \( -\frac{m - n}{n} \). Теперь умножим: \( \frac{1}{n} \cdot \left( -\frac{m - n}{n} \right) = -\frac{m - n}{n^2} \) Можно также записать как \( \frac{n - m}{n^2} \). Ответ: \( \frac{n - m}{n^2} \)