Задача 1.
Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 55 км/ч, а вторую — со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Решение:
Пусть весь путь равен \(S\). Тогда первая половина пути равна \(\frac{S}{2}\), и вторая половина пути также равна \(\frac{S}{2}\).
Скорость на первой половине пути \(v_1 = 55\) км/ч.
Скорость на второй половине пути \(v_2 = 70\) км/ч.
Время, затраченное на первую половину пути, можно найти по формуле: время = расстояние / скорость.
\[t_1 = \frac{\frac{S}{2}}{v_1} = \frac{S}{2 \cdot 55} = \frac{S}{110}\]
Время, затраченное на вторую половину пути:
\[t_2 = \frac{\frac{S}{2}}{v_2} = \frac{S}{2 \cdot 70} = \frac{S}{140}\]
Общее время в пути \(T\) равно сумме \(t_1\) и \(t_2\):
\[T = t_1 + t_2 = \frac{S}{110} + \frac{S}{140}\]
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 110 и 140 равно 1540.
\[T = \frac{S \cdot 14}{110 \cdot 14} + \frac{S \cdot 11}{140 \cdot 11} = \frac{14S}{1540} + \frac{11S}{1540} = \frac{14S + 11S}{1540} = \frac{25S}{1540}\]
Средняя скорость \(v_{ср}\) определяется как весь путь, деленный на все время:
\[v_{ср} = \frac{S}{T} = \frac{S}{\frac{25S}{1540}}\]
При делении на дробь, мы умножаем на обратную дробь:
\[v_{ср} = S \cdot \frac{1540}{25S} = \frac{1540}{25}\]
Выполним деление:
\[1540 \div 25 = 61.6\]
Таким образом, средняя скорость автомобиля на протяжении всего пути составляет 61.6 км/ч.
Ответ: 61.6 км/ч.
Задача 2.
При смешивании первого раствора соли, концентрация которого 40%, и второго раствора этой же соли, концентрация которого 65%, получили раствор, содержащий 60% соли. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?
Решение:
Пусть масса первого раствора равна \(m_1\), а масса второго раствора равна \(m_2\).
Концентрация соли в первом растворе \(C_1 = 40\% = 0.4\).
Концентрация соли во втором растворе \(C_2 = 65\% = 0.65\).
Концентрация соли в полученном растворе \(C_{общ} = 60\% = 0.6\).
Масса соли в первом растворе: \(m_{соли1} = m_1 \cdot C_1 = 0.4 m_1\).
Масса соли во втором растворе: \(m_{соли2} = m_2 \cdot C_2 = 0.65 m_2\).
Общая масса соли в полученном растворе: \(m_{соли1} + m_{соли2} = 0.4 m_1 + 0.65 m_2\).
Общая масса полученного раствора: \(m_1 + m_2\).
Концентрация соли в полученном растворе равна отношению общей массы соли к общей массе раствора:
\[C_{общ} = \frac{0.4 m_1 + 0.65 m_2}{m_1 + m_2}\]
Подставим значение \(C_{общ} = 0.6\):
\[0.6 = \frac{0.4 m_1 + 0.65 m_2}{m_1 + m_2}\]
Умножим обе части уравнения на \((m_1 + m_2)\):
\[0.6 (m_1 + m_2) = 0.4 m_1 + 0.65 m_2\]
Раскроем скобки:
\[0.6 m_1 + 0.6 m_2 = 0.4 m_1 + 0.65 m_2\]
Перенесем члены с \(m_1\) в одну сторону, а члены с \(m_2\) в другую:
\[0.6 m_1 - 0.4 m_1 = 0.65 m_2 - 0.6 m_2\]
\[0.2 m_1 = 0.05 m_2\]
Нам нужно найти отношение \(m_1\) к \(m_2\), то есть \(\frac{m_1}{m_2}\).
Разделим обе части уравнения на \(m_2\):
\[0.2 \frac{m_1}{m_2} = 0.05\]
Теперь разделим обе части на 0.2:
\[\frac{m_1}{m_2} = \frac{0.05}{0.2}\]
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 100:
\[\frac{m_1}{m_2} = \frac{5}{20}\]
Сократим дробь на 5:
\[\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{4}\]
Таким образом, первый и второй растворы были взяты в отношении 1:4.
Ответ: 1:4.