Левая колонка
Задача 1
Решите уравнение: \(1,3 : 3,9 = x : 0,6\)Решение:
Для решения этого уравнения воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.
То есть, если \(a : b = c : d\), то \(a \cdot d = b \cdot c\).
В нашем случае:
\(1,3 \cdot 0,6 = 3,9 \cdot x\)
Вычислим произведение \(1,3 \cdot 0,6\):
\(1,3 \cdot 0,6 = 0,78\)
Теперь уравнение выглядит так:
\(0,78 = 3,9 \cdot x\)
Чтобы найти \(x\), нужно разделить \(0,78\) на \(3,9\):
\(x = 0,78 : 3,9\)
Выполним деление:
\(x = 0,2\)
Ответ: \(x = 0,2\)
Задача 2
Для изготовления 8 одинаковых приборов требуется 12 кг цветных металлов. Сколько килограммов цветных металлов потребуется для изготовления 6 таких приборов?Решение:
Это задача на прямую пропорциональность. Чем меньше приборов, тем меньше металла потребуется.
Сначала найдем, сколько металла требуется для изготовления одного прибора.
1. Найдем, сколько кг металла требуется на 1 прибор:
\(12 \text{ кг} : 8 \text{ приборов} = 1,5 \text{ кг/прибор}\)
Теперь, зная, сколько металла нужно на один прибор, мы можем найти, сколько потребуется на 6 приборов.
2. Найдем, сколько кг металла потребуется на 6 приборов:
\(1,5 \text{ кг/прибор} \cdot 6 \text{ приборов} = 9 \text{ кг}\)
Ответ: Для изготовления 6 приборов потребуется 9 кг цветных металлов.
Задача 3
Для перевозки груза автомашине грузоподъемностью 7,5 т пришлось сделать 12 рейсов. Сколько рейсов придется сделать автомашине грузоподъемностью 9 т для перевозки этого же груза?Решение:
Это задача на обратную пропорциональность. Чем больше грузоподъемность машины, тем меньше рейсов ей придется сделать для перевозки того же груза.
Сначала найдем общий вес груза, который нужно перевезти.
1. Найдем общий вес груза:
\(7,5 \text{ т/рейс} \cdot 12 \text{ рейсов} = 90 \text{ т}\)
Теперь, зная общий вес груза и новую грузоподъемность машины, мы можем найти количество рейсов.
2. Найдем количество рейсов для машины грузоподъемностью 9 т:
\(90 \text{ т} : 9 \text{ т/рейс} = 10 \text{ рейсов}\)
Ответ: Автомашине грузоподъемностью 9 т придется сделать 10 рейсов.
Задача 4
В 8 кг картофеля содержится 1,4 кг крахмала. Сколько крахмала содержится в 28 кг картофеля?Решение:
Это задача на прямую пропорциональность. Чем больше картофеля, тем больше в нем крахмала.
Сначала найдем, сколько крахмала содержится в 1 кг картофеля.
1. Найдем содержание крахмала в 1 кг картофеля:
\(1,4 \text{ кг крахмала} : 8 \text{ кг картофеля} = 0,175 \text{ кг крахмала/кг картофеля}\)
Теперь, зная содержание крахмала в 1 кг картофеля, мы можем найти его количество в 28 кг картофеля.
2. Найдем количество крахмала в 28 кг картофеля:
\(0,175 \text{ кг крахмала/кг картофеля} \cdot 28 \text{ кг картофеля} = 4,9 \text{ кг}\)
Ответ: В 28 кг картофеля содержится 4,9 кг крахмала.
Задача 5
Решите уравнение: \(x : 1\frac{3}{5} = 3\frac{6}{7} : 2\frac{2}{35}\)Решение:
Сначала переведем все смешанные числа в неправильные дроби.
\(1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{8}{5}\)
\(3\frac{6}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{21 + 6}{7} = \frac{27}{7}\)
\(2\frac{2}{35} = \frac{2 \cdot 35 + 2}{35} = \frac{70 + 2}{35} = \frac{72}{35}\)
Теперь уравнение выглядит так:
\(x : \frac{8}{5} = \frac{27}{7} : \frac{72}{35}\)
Воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.
\(x \cdot \frac{72}{35} = \frac{8}{5} \cdot \frac{27}{7}\)
Вычислим произведение в правой части:
\(\frac{8}{5} \cdot \frac{27}{7} = \frac{8 \cdot 27}{5 \cdot 7} = \frac{216}{35}\)
Теперь уравнение выглядит так:
\(x \cdot \frac{72}{35} = \frac{216}{35}\)
Чтобы найти \(x\), нужно разделить \(\frac{216}{35}\) на \(\frac{72}{35}\):
\(x = \frac{216}{35} : \frac{72}{35}\)
При делении дробей, мы умножаем на обратную дробь:
\(x = \frac{216}{35} \cdot \frac{35}{72}\)
Сократим 35:
\(x = \frac{216}{72}\)
Выполним деление:
\(x = 3\)
Ответ: \(x = 3\)
Задача 6
Поезд путь от одной станции до другой прошёл за 3,5 ч со скоростью 70 км/ч. С какой скоростью должен был идти поезд, чтобы пройти этот путь за 4,9 ч?Решение:
Это задача на обратную пропорциональность. Чем больше время в пути, тем меньше должна быть скорость, чтобы пройти то же расстояние.
Сначала найдем расстояние между станциями.
1. Найдем расстояние:
Расстояние = Скорость \(\cdot\) Время
\(S = 70 \text{ км/ч} \cdot 3,5 \text{ ч} = 245 \text{ км}\)
Теперь, зная расстояние и новое время, мы можем найти требуемую скорость.
2. Найдем новую скорость:
Скорость = Расстояние : Время
\(V = 245 \text{ км} : 4,9 \text{ ч} = 50 \text{ км/ч}\)
Ответ: Поезд должен был идти со скоростью 50 км/ч.
Правая колонка
Задача 1
Решите уравнение: \(7,2 : 2,4 = 0,9 : x\)Решение:
Воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.
\(7,2 \cdot x = 2,4 \cdot 0,9\)
Вычислим произведение \(2,4 \cdot 0,9\):
\(2,4 \cdot 0,9 = 2,16\)
Теперь уравнение выглядит так:
\(7,2 \cdot x = 2,16\)
Чтобы найти \(x\), нужно разделить \(2,16\) на \(7,2\):
\(x = 2,16 : 7,2\)
Выполним деление:
\(x = 0,3\)
Ответ: \(x = 0,3\)
Задача 2
Из 12 кг пластмассы получаются 32 одинаковые трубы. Сколько таких труб получится из 9 кг пластмассы?Решение:
Это задача на прямую пропорциональность. Чем меньше пластмассы, тем меньше труб получится.
Сначала найдем, сколько труб получается из 1 кг пластмассы.
1. Найдем, сколько труб получается из 1 кг пластмассы:
\(32 \text{ трубы} : 12 \text{ кг} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3} \text{ трубы/кг}\)
Теперь, зная, сколько труб получается из 1 кг пластмассы, мы можем найти, сколько получится из 9 кг.
2. Найдем, сколько труб получится из 9 кг пластмассы:
\(\frac{8}{3} \text{ трубы/кг} \cdot 9 \text{ кг} = 8 \cdot 3 = 24 \text{ трубы}\)
Ответ: Из 9 кг пластмассы получится 24 трубы.
Задача 3
Производительность первого станка – 15 деталей в минуту, а второго станка – 12 деталей в минуту. Чтобы выполнить заказ, первому станку потребовалось 3,6 мин. Сколько минут потребуется второму станку на выполнение этого же заказа?Решение:
Это задача на обратную пропорциональность. Чем меньше производительность станка, тем больше времени ему потребуется на выполнение того же заказа.
Сначала найдем общее количество деталей в заказе.
1. Найдем количество деталей в заказе:
Количество деталей = Производительность \(\cdot\) Время
\(15 \text{ деталей/мин} \cdot 3,6 \text{ мин} = 54 \text{ детали}\)
Теперь, зная общее количество деталей и производительность второго станка, мы можем найти время, которое ему потребуется.
2. Найдем время, которое потребуется второму станку:
Время = Количество деталей : Производительность
\(54 \text{ детали} : 12 \text{ деталей/мин} = 4,5 \text{ мин}\)
Ответ: Второму станку потребуется 4,5 минуты на выполнение этого же заказа.
Задача 4
Из 6 кг льняного семени получается 2,7 кг масла. Сколько масла получится из 34 кг семян льна?Решение:
Это задача на прямую пропорциональность. Чем больше семян, тем больше масла из них получится.
Сначала найдем, сколько масла получается из 1 кг льняного семени.
1. Найдем, сколько масла получается из 1 кг семян:
\(2,7 \text{ кг масла} : 6 \text{ кг семян} = 0,45 \text{ кг масла/кг семян}\)
Теперь, зная, сколько масла получается из 1 кг семян, мы можем найти его количество из 34 кг семян.
2. Найдем количество масла из 34 кг семян:
\(0,45 \text{ кг масла/кг семян} \cdot 34 \text{ кг семян} = 15,3 \text{ кг}\)
Ответ: Из 34 кг семян льна получится 15,3 кг масла.
Задача 5
Решите уравнение: \(2\frac{2}{9} : y = 3\frac{19}{27} : 3\frac{1}{3}\)Решение:
Сначала переведем все смешанные числа в неправильные дроби.
\(2\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 2}{9} = \frac{18 + 2}{9} = \frac{20}{9}\)
\(3\frac{19}{27} = \frac{3 \cdot 27 + 19}{27} = \frac{81 + 19}{27} = \frac{100}{27}\)
\(3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{9 + 1}{3} = \frac{10}{3}\)
Теперь уравнение выглядит так:
\(\frac{20}{9} : y = \frac{100}{27} : \frac{10}{3}\)
Воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.
\(\frac{20}{9} \cdot \frac{10}{3} = y \cdot \frac{100}{27}\)
Вычислим произведение в левой части:
\(\frac{20}{9} \cdot \frac{10}{3} = \frac{20 \cdot 10}{9 \cdot 3} = \frac{200}{27}\)
Теперь уравнение выглядит так:
\(\frac{200}{27} = y \cdot \frac{100}{27}\)
Чтобы найти \(y\), нужно разделить \(\frac{200}{27}\) на \(\frac{100}{27}\):
\(y = \frac{200}{27} : \frac{100}{27}\)
При делении дробей, мы умножаем на обратную дробь:
\(y = \frac{200}{27} \cdot \frac{27}{100}\)
Сократим 27:
\(y = \frac{200}{100}\)
Выполним деление:
\(y = 2\)
Ответ: \(y = 2\)
Задача 6
Теплоход прошёл расстояние между двумя пристанями со скоростью 40 км/ч за 4,5 ч. С какой скоростью должен идти теплоход, чтобы пройти это расстояние за 3,6 ч?Решение:
Это задача на обратную пропорциональность. Чем меньше время в пути, тем больше должна быть скорость, чтобы пройти то же расстояние.
Сначала найдем расстояние между пристанями.
1. Найдем расстояние:
Расстояние = Скорость \(\cdot\) Время
\(S = 40 \text{ км/ч} \cdot 4,5 \text{ ч} = 180 \text{ км}\)
Теперь, зная расстояние и новое время, мы можем найти требуемую скорость.
2. Найдем новую скорость:
Скорость = Расстояние : Время
\(V = 180 \text{ км} : 3,6 \text{ ч} = 50 \text{ км/ч}\)
Ответ: Теплоход должен идти со скоростью 50 км/ч.