Подобие треугольников
Задача 1
Треугольники ABC и KLM подобны с коэффициентом подобия \(k = 1,5\). Известно: \(AB = 4\), \(BC = 6\), \(AC = 5\). Найдите стороны треугольника KLM, если AB соответствует стороне KL.
Решение:
Поскольку треугольники ABC и KLM подобны, отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия \(k\).
Дано, что AB соответствует KL, BC соответствует LM, и AC соответствует KM.
Мы знаем, что \(\frac{KL}{AB} = k\), \(\frac{LM}{BC} = k\), \(\frac{KM}{AC} = k\).
Из этого следует:
\(KL = AB \cdot k\)
\(LM = BC \cdot k\)
\(KM = AC \cdot k\)
Подставим известные значения:
\(KL = 4 \cdot 1,5 = 6\)
\(LM = 6 \cdot 1,5 = 9\)
\(KM = 5 \cdot 1,5 = 7,5\)
Ответ: Стороны треугольника KLM равны: \(KL = 6\), \(LM = 9\), \(KM = 7,5\).
Задача 2
Треугольники ABC и DEF подобны. Известно: \(AB = 8\), \(BC = 10\), \(CA = 12\), \(DE = 4\). Найдите EF и FD.
Решение:
Поскольку треугольники ABC и DEF подобны, отношение их соответствующих сторон постоянно и равно коэффициенту подобия \(k\).
Мы можем найти коэффициент подобия, используя известные соответствующие стороны AB и DE:
\(k = \frac{AB}{DE} = \frac{8}{4} = 2\)
Теперь, зная коэффициент подобия, мы можем найти остальные стороны треугольника DEF:
\(\frac{BC}{EF} = k \Rightarrow EF = \frac{BC}{k}\)
\(\frac{CA}{FD} = k \Rightarrow FD = \frac{CA}{k}\)
Подставим известные значения:
\(EF = \frac{10}{2} = 5\)
\(FD = \frac{12}{2} = 6\)
Ответ: Стороны треугольника DEF равны: \(EF = 5\), \(FD = 6\).
Задача 3
В подобных треугольниках PQR и XYZ сторона \(PQ = 15\), \(QR = 20\), \(XY = 9\). Найдите сторону YZ.
Решение:
Поскольку треугольники PQR и XYZ подобны, отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия \(k\).
Сторона PQ соответствует стороне XY, а сторона QR соответствует стороне YZ.
Найдем коэффициент подобия \(k\):
\(k = \frac{PQ}{XY} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}\)
Теперь найдем сторону YZ:
\(\frac{QR}{YZ} = k \Rightarrow YZ = \frac{QR}{k}\)
Подставим известные значения:
\(YZ = \frac{20}{\frac{5}{3}} = 20 \cdot \frac{3}{5} = \frac{60}{5} = 12\)
Ответ: Сторона YZ равна 12.
Задача 4
Треугольники ABC и MNK подобны. \(AB = 6\), \(MN = 18\), \(BC = 7\). Найдите NK.
Решение:
Поскольку треугольники ABC и MNK подобны, отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия \(k\).
Сторона AB соответствует стороне MN, а сторона BC соответствует стороне NK.
Найдем коэффициент подобия \(k\):
\(k = \frac{MN}{AB} = \frac{18}{6} = 3\)
Теперь найдем сторону NK:
\(\frac{NK}{BC} = k \Rightarrow NK = BC \cdot k\)
Подставим известные значения:
\(NK = 7 \cdot 3 = 21\)
Ответ: Сторона NK равна 21.
Задача 5
В треугольниках ABC и \(A_1B_1C_1\): \(AB = 5\), \(BC = 6\), \(AC = 7\), \(A_1B_1 = 10\), \(B_1C_1 = 12\). Найдите \(A_1C_1\).
Решение:
Для того чтобы найти \(A_1C_1\), нам нужно убедиться, что треугольники ABC и \(A_1B_1C_1\) подобны, и найти коэффициент подобия.
Проверим отношение соответствующих сторон:
\(\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{10}{5} = 2\)
\(\frac{B_1C_1}{BC} = \frac{12}{6} = 2\)
Так как отношения двух пар сторон равны (\(2\)), и если бы был дан угол между этими сторонами, мы могли бы утверждать подобие по двум сторонам и углу между ними. Однако, в данном случае, предполагается, что треугольники подобны, и нам нужно найти третью сторону, используя этот коэффициент подобия.
Коэффициент подобия \(k = 2\).
Теперь найдем сторону \(A_1C_1\):
\(\frac{A_1C_1}{AC} = k \Rightarrow A_1C_1 = AC \cdot k\)
Подставим известные значения:
\(A_1C_1 = 7 \cdot 2 = 14\)
Ответ: Сторона \(A_1C_1\) равна 14.
Задача 6
Треугольники ABC и DEF подобны. Известно: \(AB = 9\) см, \(BC = 12\) см, \(AC = 15\) см, \(DE = 6\) см. Найдите стороны EF и DF.
Решение:
Поскольку треугольники ABC и DEF подобны, отношение их соответствующих сторон постоянно и равно коэффициенту подобия \(k\).
Мы можем найти коэффициент подобия, используя известные соответствующие стороны AB и DE:
\(k = \frac{AB}{DE} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1,5\)
Теперь, зная коэффициент подобия, мы можем найти остальные стороны треугольника DEF:
\(\frac{BC}{EF} = k \Rightarrow EF = \frac{BC}{k}\)
\(\frac{AC}{DF} = k \Rightarrow DF = \frac{AC}{k}\)
Подставим известные значения:
\(EF = \frac{12}{1,5} = 8\)
\(DF = \frac{15}{1,5} = 10\)
Ответ: Стороны треугольника DEF равны: \(EF = 8\) см, \(DF = 10\) см.