№7. Слово составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки смешивают и раскладывают по одной в порядке вынимания. Найти вероятность того, что получилось слово МАГНИТУДА.
Решение:
1. Сначала посчитаем, сколько всего букв в слове "МАГНИТУДА".
М - 1
А - 2 (буквы А встречаются дважды)
Г - 1
Н - 1
И - 1
Т - 1
У - 1
Д - 1
Всего букв: \(1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9\).
2. Определим общее количество способов, которыми можно разложить 9 карточек. Это число перестановок из 9 элементов. Если бы все буквы были разными, это было бы \(9!\).
Однако, в слове "МАГНИТУДА" есть повторяющиеся буквы: буква "А" встречается 2 раза.
Поэтому, для нахождения общего числа различных перестановок (всех возможных слов, которые можно составить из этих карточек), мы используем формулу для перестановок с повторениями:
\[P_n^{(k_1, k_2, ..., k_m)} = \frac{n!}{k_1! k_2! ... k_m!}\]
Где \(n\) - общее количество букв, а \(k_i\) - количество повторений каждой буквы.
В нашем случае \(n = 9\), буква "А" повторяется \(k_1 = 2\) раза. Остальные буквы повторяются по 1 разу, то есть \(k_i = 1!\) для них, что равно 1, и их можно не учитывать в знаменателе.
Общее количество возможных комбинаций (исходов):
\[N = \frac{9!}{2!} = \frac{362880}{2} = 181440\]
3. Теперь определим количество благоприятных исходов. Благоприятный исход только один – это когда получилось слово "МАГНИТУДА". То есть, карточки легли в строго определенном порядке.
Количество благоприятных исходов: \(M = 1\).
4. Вероятность события \(P\) вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов:
\[P = \frac{M}{N}\]
\[P = \frac{1}{181440}\]
Ответ: Вероятность того, что получилось слово МАГНИТУДА, равна \(\frac{1}{181440}\).