Задача 16.
Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 48°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.
Решение:
1. Обозначим точку пересечения касательных за \(C\). Тогда у нас есть четырехугольник \(AOCB\).
2. Известно, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно:
- Угол \(OAC = 90^\circ\) (радиус \(OA\) перпендикулярен касательной \(AC\)).
- Угол \(OBC = 90^\circ\) (радиус \(OB\) перпендикулярен касательной \(BC\)).
3. Сумма углов в любом четырехугольнике равна \(360^\circ\). Для четырехугольника \(AOCB\) это означает:
\[\angle OAC + \angle OBC + \angle ACB + \angle AOB = 360^\circ\]
4. Нам дан угол, под которым пересекаются касательные, это \(\angle ACB = 48^\circ\).
5. Подставим известные значения в формулу суммы углов четырехугольника:
\[90^\circ + 90^\circ + 48^\circ + \angle AOB = 360^\circ\]
\[228^\circ + \angle AOB = 360^\circ\]
6. Найдем центральный угол \(\angle AOB\):
\[\angle AOB = 360^\circ - 228^\circ = 132^\circ\]
7. Рассмотрим треугольник \(AOB\). Стороны \(OA\) и \(OB\) являются радиусами окружности, поэтому они равны:
\[OA = OB = R\]
8. Так как \(OA = OB\), треугольник \(AOB\) является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основанием является сторона \(AB\), поэтому углы \(\angle OAB\) и \(\angle OBA\) (или \(\angle ABO\)) равны.
\[\angle OAB = \angle OBA\]
9. Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). Для треугольника \(AOB\):
\[\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ\]
10. Подставим \(\angle AOB = 132^\circ\) и учтем, что \(\angle OAB = \angle OBA\):
\[2 \cdot \angle OBA + 132^\circ = 180^\circ\]
\[2 \cdot \angle OBA = 180^\circ - 132^\circ\]
\[2 \cdot \angle OBA = 48^\circ\]
11. Найдем угол \(\angle OBA\) (который также является \(\angle ABO\)):
\[\angle OBA = \frac{48^\circ}{2} = 24^\circ\]
Ответ: 24.