Решение задачи 6.28: Определение температуры поверхности трубы в масле

Задача 6.28. Определить, какую температуру необходимо поддерживать на поверхности трубы с наружным диаметром 25 мм, чтобы плотность теплового потока была 79,56 кВт/м². Труба охлаждается поперечным потоком трансформаторного масла с температурой 20 °C и скоростью 1 м/с под углом атаки 50°. Каков при этом будет коэффициент теплоотдачи? Решение: 1. Запишем известные данные: * Диаметр трубы \(d = 25 \text{ мм} = 0,025 \text{ м}\). * Плотность теплового потока \(q = 79,56 \text{ кВт/м}^2 = 79560 \text{ Вт/м}^2\). * Температура трансформаторного масла \(t_ж = 20 \text{ °C}\). * Скорость потока масла \(w = 1 \text{ м/с}\). * Угол атаки \(\alpha = 50^\circ\). 2. Определим физические свойства трансформаторного масла при температуре \(t_ж = 20 \text{ °C}\). Для этого воспользуемся справочными данными. * Плотность \(\rho = 880 \text{ кг/м}^3\). * Кинематическая вязкость \(\nu = 20 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2/\text{с}\). * Коэффициент теплопроводности \(\lambda = 0,12 \text{ Вт/(м} \cdot \text{°C)}\). * Удельная теплоемкость \(c_p = 1800 \text{ Дж/(кг} \cdot \text{°C)}\). * Число Прандтля \(\text{Pr} = 280\). 3. Определим режим течения масла. Для этого рассчитаем число Рейнольдса: \[\text{Re} = \frac{w \cdot d}{\nu}\] \[\text{Re} = \frac{1 \text{ м/с} \cdot 0,025 \text{ м}}{20 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2/\text{с}} = 1250\] Так как \(\text{Re} = 1250\), что меньше \(2 \cdot 10^5\), то режим течения является ламинарным. 4. Для определения коэффициента теплоотдачи при поперечном обтекании трубы потоком жидкости, воспользуемся критериальным уравнением. Для ламинарного режима обтекания одиночной трубы (при \(\text{Re} < 2 \cdot 10^5\)) и для жидкостей с большим числом Прандтля (как трансформаторное масло), можно использовать уравнение: \[\text{Nu} = C \cdot \text{Re}^m \cdot \text{Pr}^n \cdot \left(\frac{\text{Pr}_ж}{\text{Pr}_с}\right)^k\] где \(\text{Nu}\) - число Нуссельта, \(C, m, n, k\) - коэффициенты, зависящие от режима течения и свойств жидкости. Однако, в данной задаче указан угол атаки 50°. Это означает, что поток не строго поперечный, а под углом. Для обтекания цилиндра под углом к потоку, коэффициент теплоотдачи можно определить, используя поправку на угол атаки. Для поперечного обтекания цилиндра (угол атаки \(90^\circ\)) при \(\text{Re}\) от 1 до 4000, можно использовать формулу: \[\text{Nu} = 0,6 \cdot \text{Re}^{0,5} \cdot \text{Pr}^{0,33}\] С учетом угла атаки \(\alpha\), коэффициент теплоотдачи для наклонного обтекания цилиндра можно приближенно оценить, умножив коэффициент теплоотдачи для поперечного обтекания на \(\sin(\alpha)\) или \(\sin^{0,5}(\alpha)\) в зависимости от конкретной методики. Однако, более точным будет использование формул, учитывающих угол атаки. Для обтекания цилиндра под углом к потоку, число Нуссельта можно определить по формуле: \[\text{Nu}_\alpha = \text{Nu}_{90^\circ} \cdot (\sin \alpha)^{0,5}\] где \(\text{Nu}_{90^\circ}\) - число Нуссельта для поперечного обтекания. Рассчитаем \(\text{Nu}_{90^\circ}\) при температуре жидкости \(t_ж = 20 \text{ °C}\): \[\text{Nu}_{90^\circ} = 0,6 \cdot (1250)^{0,5} \cdot (280)^{0,33} = 0,6 \cdot 35,355 \cdot 6,542 \approx 138,7\] Теперь учтем угол атаки \(\alpha = 50^\circ\): \[\text{Nu}_\alpha = 138,7 \cdot (\sin 50^\circ)^{0,5} = 138,7 \cdot (0,766)^{0,5} = 138,7 \cdot 0,875 \approx 121,36\] Это число Нуссельта при температуре жидкости. Для более точного расчета необходимо учитывать температуру поверхности трубы, так как свойства жидкости зависят от температуры. Однако, для первого приближения и при отсутствии данных о зависимости свойств масла от температуры, будем использовать свойства при температуре жидкости. 5. Определим коэффициент теплоотдачи \(\alpha_к\): \[\text{Nu} = \frac{\alpha_к \cdot d}{\lambda}\] Отсюда: \[\alpha_к = \frac{\text{Nu} \cdot \lambda}{d}\] \[\alpha_к = \frac{121,36 \cdot 0,12 \text{ Вт/(м} \cdot \text{°C)}}{0,025 \text{ м}} = \frac{14,5632}{0,025} \approx 582,53 \text{ Вт/(м}^2 \cdot \text{°C)}\] 6. Определим температуру поверхности трубы \(t_с\). Для этого воспользуемся основным уравнением теплоотдачи Ньютона-Рихмана: \[q = \alpha_к \cdot (t_с - t_ж)\] Отсюда: \[t_с - t_ж = \frac{q}{\alpha_к}\] \[t_с = t_ж + \frac{q}{\alpha_к}\] \[t_с = 20 \text{ °C} + \frac{79560 \text{ Вт/м}^2}{582,53 \text{ Вт/(м}^2 \cdot \text{°C)}}\] \[t_с = 20 \text{ °C} + 136,58 \text{ °C} \approx 156,58 \text{ °C}\] 7. Проверим, насколько сильно изменились бы свойства масла при температуре поверхности \(t_с = 156,58 \text{ °C}\). Если бы мы использовали среднюю температуру пленки \((t_с + t_ж)/2\), то свойства масла были бы другими, и расчет был бы итерационным. Однако, в рамках данной задачи и при отсутствии более подробных справочных данных, будем считать, что расчет с использованием свойств при температуре жидкости является достаточным. Ответ: Необходимая температура на поверхности трубы составляет примерно \(156,6 \text{ °C}\). Коэффициент теплоотдачи при этом будет примерно \(582,5 \text{ Вт/(м}^2 \cdot \text{°C)}\).