Решение задачи: изменение уровня громкости звука

Вот решения задач, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Билет 6 4. На сколько фонов изменится уровень громкости звука частотой 1 кГц, если его интенсивность увеличится в 2 раза? Решение: Уровень громкости звука \(L\) в фонах (или децибелах) определяется по формуле: \[L = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)\] где \(I\) - интенсивность звука, а \(I_0\) - пороговая интенсивность (обычно \(10^{-12}\) Вт/м\(^2\)). Пусть начальная интенсивность звука будет \(I_1\), а конечная интенсивность \(I_2\). По условию, интенсивность увеличилась в 2 раза, то есть \(I_2 = 2 \cdot I_1\). Начальный уровень громкости: \[L_1 = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{I_1}{I_0} \right)\] Конечный уровень громкости: \[L_2 = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_0} \right) = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{2 \cdot I_1}{I_0} \right)\] Изменение уровня громкости \(\Delta L\) будет равно: \[\Delta L = L_2 - L_1 = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{2 \cdot I_1}{I_0} \right) - 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{I_1}{I_0} \right)\] Используя свойство логарифмов \(\log a - \log b = \log (a/b)\): \[\Delta L = 10 \cdot \left( \log_{10} \left( \frac{2 \cdot I_1}{I_0} \right) - \log_{10} \left( \frac{I_1}{I_0} \right) \right)\] \[\Delta L = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{\frac{2 \cdot I_1}{I_0}}{\frac{I_1}{I_0}} \right)\] \[\Delta L = 10 \cdot \log_{10} (2)\] Вычислим значение \(\log_{10} (2)\): \(\log_{10} (2) \approx 0.301\) Тогда: \[\Delta L = 10 \cdot 0.301 = 3.01\] Таким образом, уровень громкости изменится примерно на 3.01 фона. Ответ: Уровень громкости изменится на 3.01 фона. 5. Определите модуль упругости сухожилия длиной 8 мм и площадью \(2 \cdot 10^{-6}\) м\(^2\) под действием силы 300 Н, если его удлинение составило 10 мкм. Провести расчёты, считая сухожилие абсолютно упругим телом. Решение: Дано: Длина сухожилия \(L_0 = 8\) мм \( = 8 \cdot 10^{-3}\) м Площадь поперечного сечения \(S = 2 \cdot 10^{-6}\) м\(^2\) Сила \(F = 300\) Н Удлинение \(\Delta L = 10\) мкм \( = 10 \cdot 10^{-6}\) м \( = 1 \cdot 10^{-5}\) м Найти: Модуль упругости (модуль Юнга) \(E\). Модуль упругости \(E\) определяется по формуле: \[E = \frac{\sigma}{\varepsilon}\] где \(\sigma\) - механическое напряжение, а \(\varepsilon\) - относительное удлинение. Механическое напряжение \(\sigma\) вычисляется как: \[\sigma = \frac{F}{S}\] Относительное удлинение \(\varepsilon\) вычисляется как: \[\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}\] Подставим эти выражения в формулу для модуля упругости: \[E = \frac{F/S}{\Delta L/L_0} = \frac{F \cdot L_0}{S \cdot \Delta L}\] Теперь подставим числовые значения: \[E = \frac{300 \text{ Н} \cdot 8 \cdot 10^{-3} \text{ м}}{2 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 \cdot 1 \cdot 10^{-5} \text{ м}}\] \[E = \frac{2400 \cdot 10^{-3}}{2 \cdot 10^{-11}}\] \[E = \frac{2.4}{2 \cdot 10^{-11}}\] \[E = 1.2 \cdot 10^{11} \text{ Па}\] Ответ: Модуль упругости сухожилия составляет \(1.2 \cdot 10^{11}\) Па. 6. Во сколько раз гемодинамическое сопротивление артериол больше гемодинамического сопротивления аорты, если средняя длина артериолы 1.5 мм, средний радиус 30 мкм, а общее число в большом круге кровообращения \(10^9\)? Диаметр аорты 2 см, длина 9.4 см. Решение: Дано: Для артериол: Средняя длина артериолы \(L_{арт} = 1.5\) мм \( = 1.5 \cdot 10^{-3}\) м Средний радиус артериолы \(r_{арт} = 30\) мкм \( = 30 \cdot 10^{-6}\) м Общее число артериол \(N = 10^9\) Для аорты: Диаметр аорты \(D_{аорт} = 2\) см \( = 2 \cdot 10^{-2}\) м Радиус аорты \(r_{аорт} = D_{аорт} / 2 = 1 \cdot 10^{-2}\) м Длина аорты \(L_{аорт} = 9.4\) см \( = 9.4 \cdot 10^{-2}\) м Найти: Во сколько раз гемодинамическое сопротивление артериол больше гемодинамического сопротивления аорты. То есть найти отношение \(R_{общ.арт} / R_{аорт}\). Гемодинамическое сопротивление \(R\) для одной трубки (сосуда) описывается законом Пуазейля: \[R = \frac{8 \eta L}{\pi r^4}\] где \(\eta\) - вязкость крови (можно считать одинаковой для всех сосудов), \(L\) - длина сосуда, \(r\) - радиус сосуда. Сопротивление аорты \(R_{аорт}\): \[R_{аорт} = \frac{8 \eta L_{аорт}}{\pi r_{аорт}^4}\] Сопротивление одной артериолы \(R_{1.арт}\): \[R_{1.арт} = \frac{8 \eta L_{арт}}{\pi r_{арт}^4}\] Поскольку артериолы соединены параллельно, общее сопротивление системы из \(N\) артериол \(R_{общ.арт}\) вычисляется по формуле: \[\frac{1}{R_{общ.арт}} = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{R_{1.арт}} = N \cdot \frac{1}{R_{1.арт}}\] Следовательно: \[R_{общ.арт} = \frac{R_{1.арт}}{N} = \frac{1}{N} \cdot \frac{8 \eta L_{арт}}{\pi r_{арт}^4}\] Теперь найдем отношение сопротивлений: \[\frac{R_{общ.арт}}{R_{аорт}} = \frac{\frac{1}{N} \cdot \frac{8 \eta L_{арт}}{\pi r_{арт}^4}}{\frac{8 \eta L_{аорт}}{\pi r_{аорт}^4}}\] Сократим общие члены \(8 \eta / \pi\): \[\frac{R_{общ.арт}}{R_{аорт}} = \frac{1}{N} \cdot \frac{L_{арт}}{r_{арт}^4} \cdot \frac{r_{аорт}^4}{L_{аорт}}\] \[\frac{R_{общ.арт}}{R_{аорт}} = \frac{1}{N} \cdot \frac{L_{арт}}{L_{аорт}} \cdot \left( \frac{r_{аорт}}{r_{арт}} \right)^4\] Подставим числовые значения: \(N = 10^9\) \(L_{арт} = 1.5 \cdot 10^{-3}\) м \(L_{аорт} = 9.4 \cdot 10^{-2}\) м \(r_{аорт} = 1 \cdot 10^{-2}\) м \(r_{арт} = 30 \cdot 10^{-6}\) м \[\frac{R_{общ.арт}}{R_{аорт}} = \frac{1}{10^9} \cdot \frac{1.5 \cdot 10^{-3}}{9.4 \cdot 10^{-2}} \cdot \left( \frac{1 \cdot 10^{-2}}{30 \cdot 10^{-6}} \right)^4\] Вычислим отношение радиусов: \[\frac{r_{аорт}}{r_{арт}} = \frac{1 \cdot 10^{-2}}{30 \cdot 10^{-6}} = \frac{10^{-2}}{3 \cdot 10^{-5}} = \frac{1}{3} \cdot 10^3 \approx 333.33\] Возведем в четвертую степень: \[\left( \frac{r_{аорт}}{r_{арт}} \right)^4 \approx (333.33)^4 \approx 1.23 \cdot 10^{10}\] Вычислим отношение длин: \[\frac{L_{арт}}{L_{аорт}} = \frac{1.5 \cdot 10^{-3}}{9.4 \cdot 10^{-2}} = \frac{1.5}{94} \approx 0.01596\] Теперь подставим все значения: \[\frac{R_{общ.арт}}{R_{аорт}} = \frac{1}{10^9} \cdot 0.01596 \cdot 1.23 \cdot 10^{10}\] \[\frac{R_{общ.арт}}{R_{аорт}} = 10^{-9} \cdot 0.01596 \cdot 1.23 \cdot 10^{10}\] \[\frac{R_{общ.арт}}{R_{аорт}} = 0.01596 \cdot 1.23 \cdot 10^{10} \cdot 10^{-9}\] \[\frac{R_{общ.арт}}{R_{аорт}} = 0.01596 \cdot 1.23 \cdot 10^1\] \[\frac{R_{общ.арт}}{R_{аорт}} = 0.01596 \cdot 12.3\] \[\frac{R_{общ.арт}}{R_{аорт}} \approx 0.196\] Получается, что общее сопротивление артериол примерно в 0.196 раз больше сопротивления аорты, то есть меньше. Возможно, в условии задачи подразумевалось сопротивление одной артериолы, или вопрос сформулирован так, чтобы показать, что суммарное сопротивление параллельно соединенных артериол меньше сопротивления аорты. Если вопрос "Во сколько раз гемодинамическое сопротивление артериол" относится к суммарному сопротивлению всех артериол, то ответ будет таким. Если же вопрос относится к сопротивлению *одной* артериолы, то расчет будет другим. Давайте пересчитаем для одной артериолы, чтобы убедиться. Сопротивление одной артериолы \(R_{1.арт}\): \[R_{1.арт} = \frac{8 \eta L_{арт}}{\pi r_{арт}^4}\] Отношение сопротивления одной артериолы к сопротивлению аорты: \[\frac{R_{1.арт}}{R_{аорт}} = \frac{\frac{8 \eta L_{арт}}{\pi r_{арт}^4}}{\frac{8 \eta L_{аорт}}{\pi r_{аорт}^4}} = \frac{L_{арт}}{L_{аорт}} \cdot \left( \frac{r_{аорт}}{r_{арт}} \right)^4\] \[\frac{R_{1.арт}}{R_{аорт}} = 0.01596 \cdot 1.23 \cdot 10^{10} \approx 1.96 \cdot 10^8\] Это очень большое число, что логично, так как одна артериола очень тонкая. Однако, в контексте кровообращения, обычно сравнивают общее сопротивление различных участков. Общее сопротивление артериол (как системы) действительно является основным регулятором артериального давления и значительно больше сопротивления аорты. Возможно, я ошибся в расчетах или интерпретации. Давайте перепроверим. Пересчитаем внимательнее: \[\frac{r_{аорт}}{r_{арт}} = \frac{1 \cdot 10^{-2} \text{ м}}{30 \cdot 10^{-6} \text{ м}} = \frac{10000 \cdot 10^{-6}}{30 \cdot 10^{-6}} = \frac{10000}{30} = \frac{1000}{3} \approx 333.333\] \[\left( \frac{r_{аорт}}{r_{арт}} \right)^4 = \left( \frac{1000}{3} \right)^4 = \frac{10^{12}}{81} \approx 1.2345 \cdot 10^{10}\] \[\frac{L_{арт}}{L_{аорт}} = \frac{1.5 \cdot 10^{-3} \text{ м}}{9.4 \cdot 10^{-2} \text{ м}} = \frac{1.5}{94} \cdot 10^{-1} = \frac{15}{940} \approx 0.015957\] \[\frac{R_{общ.арт}}{R_{аорт}} = \frac{1}{10^9} \cdot \frac{15}{940} \cdot \frac{10^{12}}{81}\] \[\frac{R_{общ.арт}}{R_{аорт}} = \frac{15 \cdot 10^{12}}{940 \cdot 81 \cdot 10^9} = \frac{15 \cdot 10^3}{940 \cdot 81} = \frac{15000}{76140} \approx 0.1969\] Мой расчет верен. Результат 0.1969 означает, что общее сопротивление артериол *меньше* сопротивления аорты. Это противоречит физиологии, где артериолы являются основным местом падения давления и, следовательно, имеют наибольшее суммарное сопротивление. Возможно, ошибка в условии задачи или в моем понимании "гемодинамического сопротивления артериол". Если под "гемодинамическим сопротивлением артериол" имеется в виду сопротивление *одной* артериолы, то оно будет значительно больше. Но обычно сравнивают суммарное сопротивление участков. Давайте предположим, что вопрос подразумевает, что общее сопротивление артериол должно быть больше. Это может быть связано с тем, что в формуле Пуазейля для сопротивления \(R = \frac{8 \eta L}{\pi r^4}\) радиус находится в четвертой степени, и даже небольшое уменьшение радиуса приводит к значительному увеличению сопротивления. Перепроверим данные: Радиус аорты \(r_{аорт} = 1 \cdot 10^{-2}\) м Радиус артериолы \(r_{арт} = 30 \cdot 10^{-6}\) м Отношение радиусов: \(r_{аорт} / r_{арт} = (1 \cdot 10^{-2}) / (30 \cdot 10^{-6}) = 10000 / 30 \approx 333.33\) \((r_{аорт} / r_{арт})^4 \approx (333.33)^4 \approx 1.23 \cdot 10^{10}\) Длина аорты \(L_{аорт} = 9.4 \cdot 10^{-2}\) м Длина артериолы \(L_{арт} = 1.5 \cdot 10^{-3}\) м Отношение длин: \(L_{арт} / L_{аорт} = (1.5 \cdot 10^{-3}) / (9.4 \cdot 10^{-2}) \approx 0.01596\) Количество артериол \(N = 10^9\) Формула для отношения общего сопротивления артериол к сопротивлению аорты: \[\frac{R_{общ.арт}}{R_{аорт}} = \frac{1}{N} \cdot \frac{L_{арт}}{L_{аорт}} \cdot \left( \frac{r_{аорт}}{r_{арт}} \right)^4\] \[\frac{R_{общ.арт}}{R_{аорт}} = \frac{1}{10^9} \cdot 0.01596 \cdot 1.23 \cdot 10^{10}\] \[\frac{R_{общ.арт}}{R_{аорт}} = 0.01596 \cdot 1.23 \cdot 10^{10} \cdot 10^{-9}\] \[\frac{R_{общ.арт}}{R_{аорт}} = 0.01596 \cdot 1.23 \cdot 10^1\] \[\frac{R_{общ.арт}}{R_{аорт}} = 0.01596 \cdot 12.3 \approx 0.196\] Результат стабилен. Если задача из учебника по физиологии, то обычно общее сопротивление артериол значительно больше сопротивления аорты. Возможно, в условии задачи есть опечатка в количестве артериол или их размерах. Например, если бы артериол было меньше, или их радиус был бы еще меньше. Давайте предположим, что вопрос подразумевает, что общее сопротивление артериол *должно быть* больше. Если бы, например, \(N\) было \(10^7\) вместо \(10^9\), то: \[\frac{R_{общ.арт}}{R_{аорт}} = \frac{1}{10^7} \cdot 0.01596 \cdot 1.23 \cdot 10^{10} = 0.01596 \cdot 1.23 \cdot 10^3 \approx 19.6\] В этом случае сопротивление артериол было бы в 19.6 раз больше. Однако, я должен решать задачу с теми данными, которые даны. Исходя из данных, общее сопротивление артериол меньше сопротивления аорты. Это может быть связано с тем, что аорта, хоть и имеет большой радиус, но является одним сосудом, а артериол очень много, и они соединены параллельно, что значительно уменьшает их общее сопротивление. В физиологии, однако, артериолы являются основным местом сопротивления. Это достигается за счет их малого радиуса и большого количества, но суммарная площадь поперечного сечения всех артериол значительно больше, чем у аорты. Давайте еще раз проверим логику. Сопротивление одной артериолы очень велико. \[R_{1.арт} = \frac{8 \eta L_{арт}}{\pi r_{арт}^4}\] Общее сопротивление параллельно соединенных артериол: \[R_{общ.арт} = \frac{R_{1.арт}}{N}\] Это означает, что чем больше \(N\), тем меньше общее сопротивление. Если \(N\) очень велико (\(10^9\)), то \(R_{общ.арт}\) может стать меньше \(R_{аорт}\). Возможно, в задаче имеется в виду, что артериолы являются основным источником сопротивления в системе, и вопрос сформулирован так, чтобы проверить понимание, что суммарное сопротивление параллельных ветвей может быть меньше сопротивления одной большой ветви. Если же вопрос подразумевает, что артериолы *должны* иметь большее сопротивление, то данные в задаче могут быть не совсем корректными с точки зрения реальной физиологии, или я неправильно интерпретирую "общее число в большом круге кровообращения \(10^9\)". Это число обычно относится к капиллярам, а не к артериолам. Артериол значительно меньше. Если бы число артериол было, например, \(10^7\), то результат был бы другим. Но, строго следуя условию задачи: \[\frac{R_{общ.арт}}{R_{аорт}} \approx 0.196\] Ответ: Гемодинамическое сопротивление артериол (общее) примерно в 0.196 раз больше гемодинамического сопротивления аорты, то есть оно меньше.