Решение задачи: Площадь треугольника (16 см, 18 см, 60°)

Хорошо, давайте решим эти задачи. Вариант 1 1. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 16 см и 18 см, а угол между ними — 60°. Решение: Площадь треугольника можно найти по формуле: \[S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\] где \(a\) и \(b\) — стороны треугольника, а \(\gamma\) — угол между ними. Дано: \(a = 16\) см \(b = 18\) см \(\gamma = 60^\circ\) Подставим значения в формулу: \[S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 18 \cdot \sin 60^\circ\] Мы знаем, что \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). \[S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[S = 8 \cdot 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[S = 144 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[S = 72\sqrt{3}\] Ответ: Площадь треугольника равна \(72\sqrt{3}\) см\(^2\). 2. Стороны параллелограмма равны 5 см и 8 см, а угол между ними — 120°. Найдите диагонали параллелограмма. Решение: Пусть стороны параллелограмма \(a = 5\) см и \(b = 8\) см. Угол между ними \(\alpha = 120^\circ\). В параллелограмме сумма соседних углов равна 180°, поэтому второй угол \(\beta = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). Для нахождения диагоналей используем теорему косинусов. Пусть \(d_1\) и \(d_2\) — диагонали параллелограмма. Для первой диагонали, которая лежит напротив угла \(\alpha = 120^\circ\): \[d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\alpha\] \[d_1^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 120^\circ\] Мы знаем, что \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\). \[d_1^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 40 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\] \[d_1^2 = 89 - (-40)\] \[d_1^2 = 89 + 40\] \[d_1^2 = 129\] \[d_1 = \sqrt{129}\] см. Для второй диагонали, которая лежит напротив угла \(\beta = 60^\circ\): \[d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\beta\] \[d_2^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ\] Мы знаем, что \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\). \[d_2^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 40 \cdot \frac{1}{2}\] \[d_2^2 = 89 - 40\] \[d_2^2 = 49\] \[d_2 = \sqrt{49}\] \[d_2 = 7\] см. Ответ: Диагонали параллелограмма равны \(\sqrt{129}\) см и 7 см. 3. Решите треугольник ABC, если BC = 6 см, AC = \(4\sqrt{3}\) см, \(\angle C = 30^\circ\). Решение: "Решить треугольник" означает найти все его стороны и углы. Дано: Сторона \(a = BC = 6\) см Сторона \(b = AC = 4\sqrt{3}\) см Угол \(\angle C = 30^\circ\) Найдем сторону \(c = AB\) по теореме косинусов: \[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\] \[c^2 = 6^2 + (4\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ\] Мы знаем, что \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). \[c^2 = 36 + (16 \cdot 3) - 2 \cdot 24\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\] \[c^2 = 36 + 48 - 24\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\] \[c^2 = 84 - 24 \cdot 3\] \[c^2 = 84 - 72\] \[c^2 = 12\] \[c = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\] см. Теперь найдем углы \(\angle A\) и \(\angle B\) с помощью теоремы синусов. \[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\] Найдем \(\sin A\): \[\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\] \[\frac{6}{\sin A} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin 30^\circ}\] \[\frac{6}{\sin A} = \frac{2\sqrt{3}}{1/2}\] \[\frac{6}{\sin A} = 4\sqrt{3}\] \[\sin A = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\] Так как \(\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}\), то \(\angle A = 60^\circ\) или \(\angle A = 120^\circ\). Проверим, может ли \(\angle A\) быть 120°. Если \(\angle A = 120^\circ\), то \(\angle A + \angle C = 120^\circ + 30^\circ = 150^\circ\), что возможно. Однако, сторона \(a=6\) больше стороны \(c=2\sqrt{3}\) (так как \(6 \approx 6\), а \(2\sqrt{3} \approx 2 \cdot 1.732 = 3.464\)). Напротив большей стороны лежит больший угол. Значит, \(\angle A\) должен быть больше \(\angle C\). Если \(\angle A = 60^\circ\), то \(\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ\). Если \(\angle A = 120^\circ\), то \(\angle B = 180^\circ - 120^\circ - 30^\circ = 30^\circ\). Если \(\angle B = 30^\circ\), то \(b\) должна быть равна \(c\), но \(b = 4\sqrt{3}\) и \(c = 2\sqrt{3}\), они не равны. Значит, \(\angle A\) не может быть 120°. Следовательно, \(\angle A = 60^\circ\). Теперь найдем \(\angle B\): \[\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C\] \[\angle B = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ\] \[\angle B = 90^\circ\] Проверим с помощью теоремы синусов для \(\angle B\): \[\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\] \[\frac{4\sqrt{3}}{\sin 90^\circ} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin 30^\circ}\] \[\frac{4\sqrt{3}}{1} = \frac{2\sqrt{3}}{1/2}\] \[4\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\] Все верно. Ответ: Сторона \(AB = 2\sqrt{3}\) см, \(\angle A = 60^\circ\), \(\angle B = 90^\circ\). 4. Основание равнобедренного треугольника равно \(b\), а угол при основании — \(\beta\). Найдите биссектрису треугольника, проведенную из вершины этого угла. Решение: Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC (боковые стороны). Основание \(AC = b\). Углы при основании \(\angle A = \angle C = \beta\). Угол при вершине \(\angle B = 180^\circ - 2\beta\). Нам нужно найти биссектрису, проведенную из вершины угла при основании. Пусть это будет биссектриса \(AL\), проведенная из вершины \(A\) к стороне \(BC\). Биссектриса \(AL\) делит угол \(\angle A\) пополам, то есть \(\angle CAL = \angle BAL = \frac{\beta}{2}\). Рассмотрим треугольник ALC. В этом треугольнике известны: Сторона \(AC = b\) Угол \(\angle ACL = \angle C = \beta\) Угол \(\angle CAL = \frac{\beta}{2}\) Угол \(\angle ALC = 180^\circ - \angle C - \angle CAL = 180^\circ - \beta - \frac{\beta}{2} = 180^\circ - \frac{3\beta}{2}\). Применим теорему синусов к треугольнику ALC, чтобы найти биссектрису \(AL\). \[\frac{AL}{\sin \angle ACL} = \frac{AC}{\sin \angle ALC}\] \[\frac{AL}{\sin \beta} = \frac{b}{\sin(180^\circ - \frac{3\beta}{2})}\] Мы знаем, что \(\sin(180^\circ - x) = \sin x\). \[\frac{AL}{\sin \beta} = \frac{b}{\sin(\frac{3\beta}{2})}\] \[AL = \frac{b \sin \beta}{\sin(\frac{3\beta}{2})}\] Ответ: Биссектриса треугольника, проведенная из вершины угла при основании, равна \(\frac{b \sin \beta}{\sin(\frac{3\beta}{2})}\). 5. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 48 см и площадью 768 см\(^2\). Решение: Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Основание \(AC = 48\) см. Площадь \(S = 768\) см\(^2\). Формула для площади треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\). Пусть \(h\) — высота, опущенная на основание \(AC\). В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, является также медианой и биссектрисой. \[768 = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot h\] \[768 = 24h\] \[h = \frac{768}{24}\] \[h = 32\] см. Пусть высота \(BD = h = 32\) см. Точка \(D\) — середина основания \(AC\). Значит, \(AD = DC = \frac{AC}{2} = \frac{48}{2} = 24\) см. Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. По теореме Пифагора найдем боковую сторону \(BC\): \[BC^2 = BD^2 + DC^2\] \[BC^2 = 32^2 + 24^2\] \[BC^2 = 1024 + 576\] \[BC^2 = 1600\] \[BC = \sqrt{1600} = 40\] см. Значит, \(AB = BC = 40\) см. Теперь у нас есть все стороны треугольника: \(a = 40\) см, \(b = 40\) см, \(c = 48\) см. Площадь \(S = 768\) см\(^2\). Радиус описанной окружности \(R\) можно найти по формуле: \[R = \frac{abc}{4S}\] где \(a, b, c\) — стороны треугольника, \(S\) — его площадь. Подставим значения: \[R = \frac{40 \cdot 40 \cdot 48}{4 \cdot 768}\] \[R = \frac{1600 \cdot 48}{3072}\] \[R = \frac{76800}{3072}\] Выполним деление: \[R = 25\] Ответ: Радиус описанной окружности равен 25 см.