Хорошо, давайте решим эту задачу по механике грунтов.
---
Задача 1
К горизонтальной поверхности массива грунта в одном створе приложены три вертикальные сосредоточенные силы \(N_1\), \(N_2\), \(N_3\). Расстояние между осями действия сил \(r_1\) и \(r_2\). Определить значения вертикальных составляющих напряжений \(\sigma_z\) от совместного действия сосредоточенных сил в точках массива грунта, расположенных в плоскости действия сил: 1) по вертикали I-I, проходящей через точку приложения силы \(N_2\); 2) по горизонтали II-II, проходящей на расстоянии \(Z\) от поверхности массива грунта. Точки по вертикали расположить от поверхности на расстоянии 1,0, 2,0, 4,0, 6,0 м. Точки по горизонтали расположить вправо и влево от оси действия силы \(N_2\) на расстоянии 0, 1,0, 3,0 м. По вычисленным напряжениям и заданным осям построить эпюры распределения напряжений \(\sigma_z\). Исходные данные приведены в табл.1. Схема расчета представлена на рис.1.
Исходные данные (Таблица 1):
* Вариант: 3
* \(N_1\) = 1900 кН
* \(N_2\) = 600 кН
* \(N_3\) = 1300 кН
* \(r_1\) = 3,0 м
* \(r_2\) = 1,0 м
* \(Z\) = 2,0 м
Примечание: 1 тс = 9806,65 Н = 9,80665 кН \(\approx\) 10 кН. (Это примечание не влияет на расчет, так как силы уже даны в кН).
---
Теоретические основы
Для определения вертикальных напряжений \(\sigma_z\) от сосредоточенной силы \(N\) на глубине \(z\) и на горизонтальном расстоянии \(x\) от точки приложения силы используется формула Буссинеска:
\[ \sigma_z = \frac{3N}{2\pi z^2} \left[ \frac{1}{1 + \left(\frac{x}{z}\right)^2} \right]^{5/2} \]
Эту формулу можно переписать с использованием коэффициента концентрации напряжений \(K_B\):
\[ \sigma_z = \frac{N}{z^2} K_B \]
где \(K_B = \frac{3}{2\pi} \left[ \frac{1}{1 + \left(\frac{x}{z}\right)^2} \right]^{5/2}\).
В нашей задаче мы имеем три сосредоточенные силы. Вертикальное напряжение от совместного действия сил будет равно сумме напряжений от каждой силы в данной точке:
\[ \sigma_z = \sigma_{z1} + \sigma_{z2} + \sigma_{z3} \]
где \(\sigma_{z1}\), \(\sigma_{z2}\), \(\sigma_{z3}\) - напряжения от сил \(N_1\), \(N_2\), \(N_3\) соответственно.
---
Порядок расчета
1. Расчет напряжений по вертикали I-I (под силой \(N_2\))
Вертикаль I-I проходит через точку приложения силы \(N_2\). Это означает, что для силы \(N_2\) горизонтальное расстояние \(x_2 = 0\).
Для силы \(N_1\) горизонтальное расстояние до вертикали I-I равно \(r_1\).
Для силы \(N_3\) горизонтальное расстояние до вертикали I-I равно \(r_2\).
Точки по вертикали I-I расположены на глубинах \(z\): 1,0 м, 2,0 м, 4,0 м, 6,0 м.
Расчет для \(z = 1,0\) м:
* Напряжение от \(N_1\):
\(x_1 = r_1 = 3,0\) м
\(\frac{x_1}{z} = \frac{3,0}{1,0} = 3,0\)
\(K_{B1} = \frac{3}{2\pi} \left[ \frac{1}{1 + (3,0)^2} \right]^{5/2} = \frac{3}{2\pi} \left[ \frac{1}{10} \right]^{5/2} = \frac{3}{2\pi} \cdot \frac{1}{10^{2,5}} = \frac{3}{2\pi \cdot 316,227} \approx 0,0015\)
\(\sigma_{z1} = \frac{N_1}{z^2} K_{B1} = \frac{1900}{1,0^2} \cdot 0,0015 = 1900 \cdot 0,0015 = 2,85\) кПа
* Напряжение от \(N_2\):
\(x_2 = 0\)
\(\frac{x_2}{z} = 0\)
\(K_{B2} = \frac{3}{2\pi} \left[ \frac{1}{1 + 0^2} \right]^{5/2} = \frac{3}{2\pi} \approx 0,4775\)
\(\sigma_{z2} = \frac{N_2}{z^2} K_{B2} = \frac{600}{1,0^2} \cdot 0,4775 = 600 \cdot 0,4775 = 286,5\) кПа
* Напряжение от \(N_3\):
\(x_3 = r_2 = 1,0\) м
\(\frac{x_3}{z} = \frac{1,0}{1,0} = 1,0\)
\(K_{B3} = \frac{3}{2\pi} \left[ \frac{1}{1 + (1,0)^2} \right]^{5/2} = \frac{3}{2\pi} \left[ \frac{1}{2} \right]^{5/2} = \frac{3}{2\pi} \cdot \frac{1}{2^{2,5}} = \frac{3}{2\pi \cdot 5,657} \approx 0,0844\)
\(\sigma_{z3} = \frac{N_3}{z^2} K_{B3} = \frac{1300}{1,0^2} \cdot 0,0844 = 1300 \cdot 0,0844 = 109,72\) кПа
* Суммарное напряжение:
\(\sigma_z = \sigma_{z1} + \sigma_{z2} + \sigma_{z3} = 2,85 + 286,5 + 109,72 = 399,07\) кПа
Расчет для \(z = 2,0\) м:
* Напряжение от \(N_1\):
\(x_1 = 3,0\) м
\(\frac{x_1}{z} = \frac{3,0}{2,0} = 1,5\)
\(K_{B1} = \frac{3}{2\pi} \left[ \frac{1}{1 + (1,5)^2} \right]^{5/2} = \frac{3}{2\pi} \left[ \frac{1}{1 + 2,25} \right]^{5/2} = \frac{3}{2\pi} \left[ \frac{1}{3,25} \right]^{5/2} \approx 0,0390\)
\(\sigma_{z1} = \frac{1900}{2,0^2} \cdot 0,0390 = \frac{1900}{4} \cdot 0,0390 = 475 \cdot 0,0390 = 18,525\) кПа
* Напряжение от \(N_2\):
\(x_2 = 0\)
\(K_{B2} = 0,4775\)
\(\sigma_{z2} = \frac{600}{2,0^2} \cdot 0,4775 = \frac{600}{4} \cdot 0,4775 = 150 \cdot 0,4775 = 71,625\) кПа
* Напряжение от \(N_3\):
\(x_3 = 1,0\) м
\(\frac{x_3}{z} = \frac{1,0}{2,0} = 0,5\)
\(K_{B3} = \frac{3}{2\pi} \left[ \frac{1}{1 + (0,5)^2} \right]^{5/2} = \frac{3}{2\pi} \left[ \frac{1}{1 + 0,25} \right]^{5/2} = \frac{3}{2\pi} \left[ \frac{1}{1,25} \right]^{5/2} \approx 0,2694\)
\(\sigma_{z3} = \frac{1300}{2,0^2} \cdot 0,2694 = \frac{1300}{4} \cdot 0,2694 = 325 \cdot 0,2694 = 87,555\) кПа
* Суммарное напряжение:
\(\sigma_z = 18,525 + 71,625 + 87,555 = 177,705\) кПа
Расчет для \(z = 4,0\) м:
* Напряжение от \(N_1\):
\(x_1 = 3,0\) м
\(\frac{x_1}{z} = \frac{3,0}{4,0} = 0,75\)
\(K_{B1} = \frac{3}{2\pi} \left[ \frac{1}{1 + (0,75)^2} \right]^{5/2} = \frac{3}{2\pi} \left[ \frac{1}{1 + 0,5625} \right]^{5/2} = \frac{3}{2\pi} \left[ \frac{1}{1,5625} \right]^{5/2} \approx 0,1698\)
\(\sigma_{z1} = \frac{1900}{4,0^2} \cdot 0,1698 = \frac{1900}{16} \cdot 0,1698 = 118,75 \cdot 0,1698 = 20,163\) кПа
* Напряжение от \(N_2\):
\(x_2 = 0\)
\(K_{B2} = 0,4775\)
\(\sigma_{z2} = \frac{600}{4,0^2} \cdot 0,4775 = \frac{600}{16} \cdot 0,4775 = 37,5 \cdot 0,4775 = 17,906\) кПа
* Напряжение от \(N_3\):
\(x_3 = 1,0\) м
\(\frac{x_3}{z} = \frac{1,0}{4,0} = 0,25\)
\(K_{B3} = \frac{3}{2\pi} \left[ \frac{1}{1 + (0,25)^2} \right]^{5/2} = \frac{3}{2\pi} \left[ \frac{1}{1 + 0,0625} \right]^{5/2} = \frac{3}{2\pi} \left[ \frac{1}{1,0625} \right]^{5/2} \approx 0,4096\)
\(\sigma_{z3} = \frac{1300}{4,0^2} \cdot 0,4096 = \frac{1300}{16} \cdot 0,4096 = 81,25 \cdot 0,4096 = 33,28\) кПа
* Суммарное напряжение:
\(\sigma_z = 20,163 + 17,906 + 33,28 = 71,349\) кПа
Расчет для \(z = 6,0\) м:
* Напряжение от \(N_1\):
\(x_1 = 3,0\) м
\(\frac{x_1}{z} = \frac{3,0}{6,0} = 0,5\)
\(K_{B1} = 0,2694\) (см. расчет для \(N_3\) при \(z=2,0\) м)
\(\sigma_{z1} = \frac{1900}{6,0^2} \cdot 0,2694 = \frac{1900}{36} \cdot 0,2694 = 52,778 \cdot 0,2694 = 14,22\) кПа
* Напряжение от \(N_2\):
\(x_2 = 0\)
\(K_{B2} = 0,4775\)
\(\sigma_{z2} = \frac{600}{6,0^2} \cdot 0,4775 = \frac{600}{36} \cdot 0,4775 = 16,667 \cdot 0,4775 = 7,958\) кПа
* Напряжение от \(N_3\):
\(x_3 = 1,0\) м
\(\frac{x_3}{z} = \frac{1,0}{6,0} \approx 0,1667\)
\(K_{B3} = \frac{3}{2\pi} \left[ \frac{1}{1 + (0,1667)^2} \right]^{5/2} = \frac{3}{2\pi} \left[ \frac{1}{1 + 0,02778} \right]^{5/2} = \frac{3}{2\pi} \left[ \frac{1}{1,02778} \right]^{5/2} \approx 0,4408\)
\(\sigma_{z3} = \frac{1300}{6,0^2} \cdot 0,4408 = \frac{1300}{36} \cdot 0,4408 = 36,111 \cdot 0,4408 = 15,91\) кПа
* Суммарное напряжение:
\(\sigma_z = 14,22 + 7,958 + 15,91 = 38,088\) кПа
Сводная таблица для вертикали I-I:
| Глубина \(z\), м | \(\sigma_{z1}\), кПа | \(\sigma_{z2}\), кПа | \(\sigma_{z3}\), кПа | \(\sigma_z\), кПа |
| :--------------- | :------------------ | :------------------ | :------------------ | :---------------- |
| 1,0 | 2,85 | 286,5 | 109,72 | 399,07 |
| 2,0 | 18,525 | 71,625 | 87,555 | 177,705 |
| 4,0 | 20,163 | 17,906 | 33,28 | 71,349 |
| 6,0 | 14,22 | 7,958 | 15,91 | 38,088 |
---
2. Расчет напряжений по горизонтали II-II (на глубине \(Z = 2,0\) м)
Горизонталь II-II проходит на глубине \(Z = 2,0\) м.
Точки по горизонтали расположены на расстояниях \(x\) от оси действия силы \(N_2\): 0 м, 1,0 м, 3,0 м (вправо и влево).
Из-за симметрии формулы Буссинеска относительно \(x\), напряжения на расстоянии \(x\) вправо и влево будут одинаковыми.
Определим горизонтальные расстояния от каждой силы до точек на горизонтали II-II:
* **Точка 1:** \(x_{от N_2} = 0\) м.
* Расстояние от \(N_1\): \(x_1 = r_1 = 3,0\) м.
* Расстояние от \(N_2\): \(x_2 = 0\) м.
*
