Решение задачи по механике грунтов онлайн

Хорошо, давайте решим эту задачу по механике грунтов. Задача 1. К горизонтальной поверхности массива грунта в одном створе приложены три вертикальные сосредоточенные силы \(N_1\), \(N_2\), \(N_3\). Расстояние между осями действия сил \(r_1\) и \(r_2\). Определить значения вертикальных составляющих напряжений \(\sigma_z\) от совместного действия сосредоточенных сил в точках массива грунта, расположенных в плоскости действия сил: 1) по вертикали I-I, проходящей через точку приложения силы \(N_2\); 2) по горизонтали II-II, проходящей на расстоянии \(Z\) от поверхности массива грунта. Точки по вертикали расположить от поверхности на расстоянии 1,0, 2,0, 4,0, 6,0 м. Точки по горизонтали расположить вправо и влево от оси действия силы \(N_2\) на расстоянии 0, 1,0, 3,0 м. По вычисленным напряжениям и заданным осям построить эпюры распределения напряжений \(\sigma_z\). Исходные данные приведены в табл.1. Схема расчета представлена на рис.1. Таблица 1. Исходные данные для варианта 3. Вариант: 3 \(N_1\), кН: 1900 \(N_2\), кН: 600 \(N_3\), кН: 1300 \(r_1\), м: 3,0 \(r_2\), м: 1,0 \(Z\), м: 2,0 Примечание. 1 тс = 9806,65 Н = 9,80665 кН \(\approx\) 10 кН. В данной задаче мы будем использовать значения в кН. Для определения вертикальных напряжений от сосредоточенной силы в грунте используется формула Буссинеска: \[\sigma_z = \frac{3P}{2\pi} \frac{z^3}{(r^2 + z^2)^{5/2}}\] где: \(\sigma_z\) - вертикальное напряжение в точке, Па (или кПа) \(P\) - сосредоточенная сила, Н (или кН) \(z\) - глубина от поверхности до рассматриваемой точки, м \(r\) - горизонтальное расстояние от линии действия силы до рассматриваемой точки, м Однако, для удобства расчетов часто используют коэффициент концентрации напряжения \(K\): \[\sigma_z = K \frac{P}{z^2}\] где \(K = \frac{3}{2\pi} \frac{1}{( (r/z)^2 + 1 )^{5/2}}\) В нашем случае, мы имеем три сосредоточенные силы, поэтому для определения суммарного напряжения \(\sigma_z\) в любой точке, мы должны просуммировать напряжения от каждой силы: \[\sigma_z = \sigma_{z1} + \sigma_{z2} + \sigma_{z3}\] где \(\sigma_{zi}\) - напряжение от \(i\)-й силы. Давайте переведем все расстояния в метры, если они даны в сантиметрах на рисунке. На рисунке: Расстояния по вертикали: 100 см = 1 м, 200 см = 2 м, 400 см = 4 м, 600 см = 6 м. Расстояния по горизонтали: 100 см = 1 м, 300 см = 3 м. Эти значения совпадают с заданными в условии. Определим координаты сил относительно оси I-I (проходящей через \(N_2\)): Сила \(N_1\): находится на расстоянии \(r_1 = 3,0\) м влево от оси I-I. Сила \(N_2\): находится на расстоянии \(r = 0\) м от оси I-I. Сила \(N_3\): находится на расстоянии \(r_2 = 1,0\) м вправо от оси I-I. Теперь приступим к расчетам.

1. Расчет напряжений по вертикали I-I (проходящей через точку приложения силы \(N_2\))

Для точек на вертикали I-I, горизонтальное расстояние \(r\) от оси действия силы \(N_2\) равно 0. Для силы \(N_1\), горизонтальное расстояние до оси I-I равно \(r_1 = 3,0\) м. Для силы \(N_3\), горизонтальное расстояние до оси I-I равно \(r_2 = 1,0\) м. Точки по вертикали расположены на глубинах \(z\): 1,0 м, 2,0 м, 4,0 м, 6,0 м. Давайте рассчитаем напряжения для каждой глубины.

Глубина \(z = 1,0\) м

Напряжение от \(N_1\): Горизонтальное расстояние \(r_{1,I-I} = 3,0\) м. \[\sigma_{z1} = \frac{3 \cdot N_1}{2\pi} \frac{z^3}{(r_{1,I-I}^2 + z^2)^{5/2}} = \frac{3 \cdot 1900}{2\pi} \frac{1,0^3}{(3,0^2 + 1,0^2)^{5/2}} = \frac{3 \cdot 1900}{2\pi} \frac{1}{(9 + 1)^{5/2}} = \frac{5700}{2\pi} \frac{1}{10^{2,5}} = \frac{906,17}{316,23} \approx 2,866 \text{ кПа}\] Напряжение от \(N_2\): Горизонтальное расстояние \(r_{2,I-I} = 0\) м. \[\sigma_{z2} = \frac{3 \cdot N_2}{2\pi} \frac{z^3}{(0^2 + z^2)^{5/2}} = \frac{3 \cdot N_2}{2\pi} \frac{z^3}{z^5} = \frac{3 \cdot N_2}{2\pi z^2} = \frac{3 \cdot 600}{2\pi \cdot 1,0^2} = \frac{1800}{2\pi} \approx 286,48 \text{ кПа}\] Напряжение от \(N_3\): Горизонтальное расстояние \(r_{3,I-I} = 1,0\) м. \[\sigma_{z3} = \frac{3 \cdot N_3}{2\pi} \frac{z^3}{(r_{3,I-I}^2 + z^2)^{5/2}} = \frac{3 \cdot 1300}{2\pi} \frac{1,0^3}{(1,0^2 + 1,0^2)^{5/2}} = \frac{3 \cdot 1300}{2\pi} \frac{1}{(1 + 1)^{5/2}} = \frac{3900}{2\pi} \frac{1}{2^{2,5}} = \frac{620,70}{5,657} \approx 109,72 \text{ кПа}\] Суммарное напряжение \(\sigma_z\) при \(z = 1,0\) м: \[\sigma_z = 2,866 + 286,48 + 109,72 = 399,066 \text{ кПа}\]

Глубина \(z = 2,0\) м

Напряжение от \(N_1\): Горизонтальное расстояние \(r_{1,I-I} = 3,0\) м. \[\sigma_{z1} = \frac{3 \cdot 1900}{2\pi} \frac{2,0^3}{(3,0^2 + 2,0^2)^{5/2}} = \frac{5700}{2\pi} \frac{8}{(9 + 4)^{5/2}} = \frac{906,17 \cdot 8}{13^{2,5}} = \frac{7249,36}{609,39} \approx 11,896 \text{ кПа}\] Напряжение от \(N_2\): Горизонтальное расстояние \(r_{2,I-I} = 0\) м. \[\sigma_{z2} = \frac{3 \cdot 600}{2\pi \cdot 2,0^2} = \frac{1800}{2\pi \cdot 4} = \frac{1800}{8\pi} \approx 71,62 \text{ кПа}\] Напряжение от \(N_3\): Горизонтальное расстояние \(r_{3,I-I} = 1,0\) м. \[\sigma_{z3} = \frac{3 \cdot 1300}{2\pi} \frac{2,0^3}{(1,0^2 + 2,0^2)^{5/2}} = \frac{3900}{2\pi} \frac{8}{(1 + 4)^{5/2}} = \frac{620,70 \cdot 8}{5^{2,5}} = \frac{4965,6}{55,90} \approx 88,83 \text{ кПа}\] Суммарное напряжение \(\sigma_z\) при \(z = 2,0\) м: \[\sigma_z = 11,896 + 71,62 + 88,83 = 172,346 \text{ кПа}\]

Глубина \(z = 4,0\) м

Напряжение от \(N_1\): Горизонтальное расстояние \(r_{1,I-I} = 3,0\) м. \[\sigma_{z1} = \frac{3 \cdot 1900}{2\pi} \frac{4,0^3}{(3,0^2 + 4,0^2)^{5/2}} = \frac{5700}{2\pi} \frac{64}{(9 + 16)^{5/2}} = \frac{906,17 \cdot 64}{25^{2,5}} = \frac{57994,88}{3125} \approx 18,56 \text{ кПа}\] Напряжение от \(N_2\): Горизонтальное расстояние \(r_{2,I-I} = 0\) м. \[\sigma_{z2} = \frac{3 \cdot 600}{2\pi \cdot 4,0^2} = \frac{1800}{2\pi \cdot 16} = \frac{1800}{32\pi} \approx 17,90 \text{ кПа}\] Напряжение от \(N_3\): Горизонтальное расстояние \(r_{3,I-I} = 1,0\) м. \[\sigma_{z3} = \frac{3 \cdot 1300}{2\pi} \frac{4,0^3}{(1,0^2 + 4,0^2)^{5/2}} = \frac{3900}{2\pi} \frac{64}{(1 + 16)^{5/2}} = \frac{620,70 \cdot 64}{17^{2,5}} = \frac{39724,8}{1183,86} \approx 33,55 \text{ кПа}\] Суммарное напряжение \(\sigma_z\) при \(z = 4,0\) м: \[\sigma_z = 18,56 + 17,90 + 33,55 = 70,01 \text{ кПа}\]

Глубина \(z = 6,0\) м

Напряжение от \(N_1\): Горизонтальное расстояние \(r_{1,I-I} = 3,0\) м. \[\sigma_{z1} = \frac{3 \cdot 1900}{2\pi} \frac{6,0^3}{(3,0^2 + 6,0^2)^{5/2}} = \frac{5700}{2\pi} \frac{216}{(9 + 36)^{5/2}} = \frac{906,17 \cdot 216}{45^{2,5}} = \frac{195732,72}{13500} \approx 14,50 \text{ кПа}\] Напряжение от \(N_2\): Горизонтальное расстояние \(r_{2,I-I} = 0\) м. \[\sigma_{z2} = \frac{3 \cdot 600}{2\pi \cdot 6,0^2} = \frac{1800}{2\pi \cdot 36} = \frac{1800}{72\pi} \approx 7,96 \text{ кПа}\] Напряжение от \(N_3\): Горизонтальное расстояние \(r_{3,I-I} = 1,0\) м. \[\sigma_{z3} = \frac{3 \cdot 1300}{2\pi} \frac{6,0^3}{(1,0^2 + 6,0^2)^{5/2}} = \frac{3900}{2\pi} \frac{216}{(1 + 36)^{5/2}} = \frac{620,70 \cdot 216}{37^{2,5}} = \frac{134071,2}{8406,7} \approx 15,95 \text{ кПа}\] Суммарное напряжение \(\sigma_z\) при \(z = 6,0\) м: \[\sigma_z = 14,50 + 7,96 + 15,95 = 38,41 \text{ кПа}\] Сведем результаты для вертикали I-I в таблицу:

Глубина \(z\), м	\(\sigma_{z1}\), кПа	\(\sigma_{z2}\), кПа	\(\sigma_{z3}\), кПа	\(\sigma_z\) (суммарное), кПа
1,0	2,87	286,48	109,72	399,07
2,0	11,90	71,62	88,83	172,35
4,0	18,56	17,90	33,55	70,01
6,0	14,50	7,96	15,95	38,41

2. Расчет напряжений по горизонтали II-II (проходящей на расстоянии \(Z = 2,0\) м от поверхности)

Для точек на горизонтали II-II, глубина \(z = 2,0\) м. Точки по горизонтали расположены относительно оси действия силы \(N_2\) на расстояниях \(x\): 0 м, 1,0 м, 3,0 м вправо и влево. Обозначим горизонтальное расстояние от оси I-I (оси \(N_2\)) как \(x\). Тогда горизонтальное расстояние от \(N_1\) до рассматриваемой точки будет \(r_{1,II-II} = |r_1 + x|\) (если \(x\) вправо, то \(r_1\) влево, поэтому \(r_1\) с минусом, или просто \(|3,0 - x|\)). Точнее, если ось I-I - это \(x=0\), то \(N_1\) находится в точке \(x = -r_1 = -3,0\) м, \(N_2\) в \(x=0\), \(N_3\) в \(x = r_2 = 1,0\) м. Тогда для любой точки с координатой \(x\): Расстояние до \(N_1\): \(|x - (-3,0)| = |x + 3,0|\) Расстояние до \(N_2\): \(|x - 0| = |x|\) Расстояние до \(N_3\): \(|x - 1,0|\) Давайте рассчитаем напряжения для каждой горизонтальной точки при \(z = 2,0\) м.

Точка \(x = 0\) м (под \(N_2\))

Это та же точка, что и при \(z = 2,0\) м на вертикали I-I. \(\sigma_z = 172,35\) кПа. Проверим расчеты: Расстояние до \(N_1\): \(|0 + 3,0| = 3,0\) м. Расстояние до \(N_2\):