Решение задачи: площадь и центр тяжести плоской фигуры

Решение задачи. Для нахождения площади и координат центра тяжести плоской фигуры, изображенной на рисунке, разобьем её на простые геометрические фигуры: прямоугольники, треугольники и полукруг. 1. Определим координаты вершин фигуры: * Точка A: (0, 6) * Точка B: (0, 2) * Точка C: (2, 2) * Точка D: (2, 0) * Точка E: (7, 0) * Точка F: (10, 3.5) (приблизительно, так как точка не отмечена явно, но по рисунку это середина между 3 и 4 по оси y) * Точка G: (8, 3.5) (приблизительно) * Точка H: (8, 4.5) (приблизительно) * Точка I: (6, 4.5) (приблизительно) * Точка J: (6, 5.5) (приблизительно) * Точка K: (2, 5.5) (приблизительно) * Полукруг: центр (0, 4), радиус 2. Для удобства расчетов, разобьем фигуру на следующие части: * Прямоугольник 1: от (0, 0) до (2, 2) * Треугольник 1: от (2, 0) до (7, 0) до (2, 2) * Прямоугольник 2: от (2, 2) до (6, 5.5) * Прямоугольник 3: от (6, 4.5) до (8, 5.5) * Прямоугольник 4: от (8, 3.5) до (10, 5.5) * Треугольник 2: от (7, 0) до (10, 3.5) до (8, 3.5) * Полукруг: вырезанный из прямоугольника (0, 2) до (0, 6) Однако, более простой способ - разбить фигуру на прямоугольники и треугольники, а затем вычесть площадь полукруга. Разобьем фигуру на следующие части: 1. Прямоугольник I: от (0, 0) до (2, 6) 2. Прямоугольник II: от (2, 2) до (6, 6) 3. Прямоугольник III: от (6, 4.5) до (8, 6) 4. Прямоугольник IV: от (8, 3.5) до (10, 6) 5. Треугольник V: от (2, 0) до (7, 0) до (2, 2) 6. Треугольник VI: от (7, 0) до (10, 3.5) до (8, 3.5) 7. Полукруг: вырезанный из прямоугольника I, с центром (0, 4) и радиусом 2. Давайте пересмотрим разбиение, чтобы оно было более точным и удобным. Фигуру можно представить как сумму нескольких прямоугольников и треугольников, из которой вырезан полукруг. Разобьем фигуру на следующие части: * Прямоугольник A: от (0, 0) до (10, 6) - это общий прямоугольник, из которого будем вычитать и добавлять. * Прямоугольник B: от (0, 0) до (2, 2) * Прямоугольник C: от (2, 2) до (6, 6) * Прямоугольник D: от (6, 4.5) до (8, 6) * Прямоугольник E: от (8, 3.5) до (10, 6) * Треугольник F: от (2, 0) до (7, 0) до (2, 2) * Треугольник G: от (7, 0) до (10, 3.5) до (8, 3.5) * Полукруг H: вырезанный из фигуры, с центром (0, 4) и радиусом 2. Это тоже не самый оптимальный способ. Давайте попробуем разбить фигуру на части, которые легко посчитать. 1. Прямоугольник 1: от (0, 0) до (2, 2). * Ширина \(b_1 = 2 - 0 = 2\) м. * Высота \(h_1 = 2 - 0 = 2\) м. * Площадь \(A_1 = b_1 \cdot h_1 = 2 \cdot 2 = 4\) м\(^2\). * Координаты центра тяжести \(x_{c1} = \frac{0+2}{2} = 1\) м, \(y_{c1} = \frac{0+2}{2} = 1\) м. 2. Треугольник 1: от (2, 0) до (7, 0) до (2, 2). * Основание \(b_2 = 7 - 2 = 5\) м. * Высота \(h_2 = 2 - 0 = 2\) м. * Площадь \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot b_2 \cdot h_2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 = 5\) м\(^2\). * Координаты центра тяжести: * \(x_{c2} = 2 + \frac{1}{3} \cdot (7-2) = 2 + \frac{5}{3} = \frac{11}{3}\) м. * \(y_{c2} = 0 + \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}\) м. 3. Прямоугольник 2: от (2, 2) до (6, 5.5). * Ширина \(b_3 = 6 - 2 = 4\) м. * Высота \(h_3 = 5.5 - 2 = 3.5\) м. * Площадь \(A_3 = b_3 \cdot h_3 = 4 \cdot 3.5 = 14\) м\(^2\). * Координаты центра тяжести \(x_{c3} = \frac{2+6}{2} = 4\) м, \(y_{c3} = \frac{2+5.5}{2} = \frac{7.5}{2} = 3.75\) м. 4. Прямоугольник 3: от (6, 4.5) до (8, 5.5). * Ширина \(b_4 = 8 - 6 = 2\) м. * Высота \(h_4 = 5.5 - 4.5 = 1\) м. * Площадь \(A_4 = b_4 \cdot h_4 = 2 \cdot 1 = 2\) м\(^2\). * Координаты центра тяжести \(x_{c4} = \frac{6+8}{2} = 7\) м, \(y_{c4} = \frac{4.5+5.5}{2} = 5\) м. 5. Прямоугольник 4: от (8, 3.5) до (10, 5.5). * Ширина \(b_5 = 10 - 8 = 2\) м. * Высота \(h_5 = 5.5 - 3.5 = 2\) м. * Площадь \(A_5 = b_5 \cdot h_5 = 2 \cdot 2 = 4\) м\(^2\). * Координаты центра тяжести \(x_{c5} = \frac{8+10}{2} = 9\) м, \(y_{c5} = \frac{3.5+5.5}{2} = 4.5\) м. 6. Треугольник 2: от (7, 0) до (10, 3.5) до (8, 3.5). * Основание \(b_6 = 10 - 7 = 3\) м (по оси x). * Высота \(h_6 = 3.5 - 0 = 3.5\) м (по оси y). * Это не прямоугольный треугольник. Его вершины: (7,0), (10, 3.5), (8, 3.5). * Можно разбить его на прямоугольник и треугольник или использовать формулу площади по координатам. * Проще рассмотреть его как трапецию с вершинами (7,0), (8, 3.5), (10, 3.5), (10, 0) и вычесть прямоугольник (8,0) до (10, 3.5). * Или, что еще проще, рассмотреть его как треугольник с основанием на линии \(y=3.5\) и вершиной (7,0). * Основание треугольника на линии \(y=3.5\) имеет длину \(10 - 8 = 2\) м. * Высота треугольника от линии \(y=3.5\) до вершины (7,0) равна \(3.5 - 0 = 3.5\) м. * Площадь \(A_6 = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}\). * Но это не так. Треугольник имеет вершины (7,0), (10, 3.5), (8, 3.5). * Можно разбить его на два треугольника или использовать формулу Гаусса. * Давайте рассмотрим его как сумму трапеции и треугольника. * Или, что проще, как часть, которая дополняет фигуру. * По рисунку, это треугольник с вершинами (7,0), (10, 3.5) и (8, 3.5). * Основание этого треугольника лежит на линии \(y=3.5\) и имеет длину \(10 - 8 = 2\) м. * Высота этого треугольника от основания до вершины (7,0) равна \(3.5\) м. * Площадь \(A_6 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3.5 = 3.5\) м\(^2\). * Координаты центра тяжести треугольника с вершинами \((x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)\) находятся по формулам: * \(x_c = \frac{x_1+x_2+x_3}{3}\) * \(y_c = \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\) * Для вершин (7,0), (10, 3.5), (8, 3.5): * \(x_{c6} = \frac{7+10+8}{3} = \frac{25}{3}\) м. * \(y_{c6} = \frac{0+3.5+3.5}{3} = \frac{7}{3}\) м. 7. Полукруг: вырезанный из фигуры, с центром (0, 4) и радиусом \(R = 2\). * Площадь полукруга \(A_7 = -\frac{1}{2} \pi R^2 = -\frac{1}{2} \pi (2)^2 = -2\pi\) м\(^2\). * Координаты центра тяжести полукруга (для вычитания): * Центр полукруга находится на оси y в точке (0, 4). * Для полукруга, вырезанного из правой части, центр тяжести находится на расстоянии \(\frac{4R}{3\pi}\) от диаметра. * В данном случае, полукруг вырезан из левой части, поэтому его центр тяжести будет по оси x отрицательным. * Но полукруг вырезан из фигуры, его центр тяжести будет по оси x равен 0. * \(x_{c7} = 0\) м. * \(y_{c7} = 4\) м. (Это центр диаметра, а не центр тяжести полукруга). * Центр тяжести полукруга находится на расстоянии \(\frac{4R}{3\pi}\) от диаметра по оси симметрии. * В данном случае, диаметр лежит на оси y. Ось симметрии - это ось x. * Поскольку полукруг вырезан из левой части, его центр тяжести будет по оси x: \(x_{c7} = -\frac{4R}{3\pi} = -\frac{4 \cdot 2}{3\pi} = -\frac{8}{3\pi}\) м. * \(y_{c7} = 4\) м. Теперь суммируем площади и моменты. Общая площадь \(A = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 + A_6 + A_7\). \(A = 4 + 5 + 14 + 2 + 4 + 3.5 - 2\pi\) \(A = 32.5 - 2\pi \approx 32.5 - 2 \cdot 3.14159 = 32.5 - 6.28318 = 26.21682\) м\(^2\). Теперь найдем статические моменты относительно осей x и y. Статический момент относительно оси y: \(S_y = \sum A_i \cdot x_{ci}\). \(S_y = A_1 x_{c1} + A_2 x_{c2} + A_3 x_{c3} + A_4 x_{c4} + A_5 x_{c5} + A_6 x_{c6} + A_7 x_{c7}\) \(S_y = 4 \cdot 1 + 5 \cdot \frac{11}{3} + 14 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 4 \cdot 9 + 3.5 \cdot \frac{25}{3} + (-2\pi) \cdot (-\frac{8}{3\pi})\) \(S_y = 4 + \frac{55}{3} + 56 + 14 + 36 + \frac{87.5}{3} + \frac{16}{3}\) \(S_y = 4 + 18.333 + 56 + 14 + 36 + 29.167 + 5.333\) \(S_y = 162.833\) м\(^3\). Статический момент относительно оси x: \(S_x = \sum A_i \cdot y_{ci}\). \(S_x = A_1 y_{c1} + A_2 y_{c2} + A_3 y_{c3} + A_4 y_{c4} + A_5 y_{c5} + A_6 y_{c6} + A_7 y_{c7}\) \(S_x = 4 \cdot 1 + 5 \cdot \frac{2}{3} + 14 \cdot 3.75 + 2 \cdot 5 + 4 \cdot 4.5 + 3.5 \cdot \frac{7}{3} + (-2\pi) \cdot 4\) \(S_x = 4 + \frac{10}{3} + 52.5 + 10 + 18 + \frac{24.5}{3} - 8\pi\) \(S_x = 4 + 3.333 + 52.5 + 10 + 18 + 8.167 - 8\pi\) \(S_x = 96 - 8\pi \approx 96 - 8 \cdot 3.14159 = 96 - 25.13272 = 70.86728\) м\(^3\). Координаты центра тяжести: \(x_c = \frac{S_y}{A}\) \(x_c = \frac{162.833}{26.21682} \approx 6.21\) м. \(y_c = \frac{S_x}{A}\) \(y_c = \frac{70.86728}{26.21682} \approx 2.70\) м. Проверим разбиение фигуры и расчеты. По рисунку, полукруг имеет центр (0, 4) и радиус 2. Он вы