Задача. Найти площадь (в м²) и координаты центра тяжести плоской фигуры (в м), изображенной на рисунке. Отметки на осях даны в метрах. Криволинейный участок контура является дугой половины окружности.
Решение:
Для удобства расчетов разобьем сложную фигуру на несколько простых геометрических фигур: прямоугольники, треугольники и полукруг. Затем найдем площадь и координаты центра тяжести каждой из этих простых фигур, а после этого вычислим общую площадь и координаты центра тяжести всей фигуры.
1. Разбиение фигуры на части и определение их параметров:
Рассмотрим следующие части:
Часть 1: Прямоугольник
- Вершины: (0, 0), (2, 0), (2, 2), (0, 2)
- Ширина \(b_1 = 2 - 0 = 2\) м
- Высота \(h_1 = 2 - 0 = 2\) м
- Площадь \(A_1 = b_1 \cdot h_1 = 2 \cdot 2 = 4\) м\(^2\)
- Координаты центра тяжести:
- \(x_{c1} = \frac{0+2}{2} = 1\) м
- \(y_{c1} = \frac{0+2}{2} = 1\) м
Часть 2: Треугольник
- Вершины: (2, 0), (7, 0), (2, 2)
- Основание \(b_2 = 7 - 2 = 5\) м (лежит на оси x)
- Высота \(h_2 = 2 - 0 = 2\) м
- Площадь \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot b_2 \cdot h_2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 = 5\) м\(^2\)
- Координаты центра тяжести (для прямоугольного треугольника):
- \(x_{c2} = 2 + \frac{1}{3} \cdot (7-2) = 2 + \frac{5}{3} = \frac{6+5}{3} = \frac{11}{3}\) м
- \(y_{c2} = 0 + \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}\) м
Часть 3: Прямоугольник
- Вершины: (2, 2), (6, 2), (6, 5.5), (2, 5.5)
- Ширина \(b_3 = 6 - 2 = 4\) м
- Высота \(h_3 = 5.5 - 2 = 3.5\) м
- Площадь \(A_3 = b_3 \cdot h_3 = 4 \cdot 3.5 = 14\) м\(^2\)
- Координаты центра тяжести:
- \(x_{c3} = \frac{2+6}{2} = 4\) м
- \(y_{c3} = \frac{2+5.5}{2} = \frac{7.5}{2} = 3.75\) м
Часть 4: Прямоугольник
- Вершины: (6, 4.5), (8, 4.5), (8, 5.5), (6, 5.5)
- Ширина \(b_4 = 8 - 6 = 2\) м
- Высота \(h_4 = 5.5 - 4.5 = 1\) м
- Площадь \(A_4 = b_4 \cdot h_4 = 2 \cdot 1 = 2\) м\(^2\)
- Координаты центра тяжести:
- \(x_{c4} = \frac{6+8}{2} = 7\) м
- \(y_{c4} = \frac{4.5+5.5}{2} = \frac{10}{2} = 5\) м
Часть 5: Прямоугольник
- Вершины: (8, 3.5), (10, 3.5), (10, 5.5), (8, 5.5)
- Ширина \(b_5 = 10 - 8 = 2\) м
- Высота \(h_5 = 5.5 - 3.5 = 2\) м
- Площадь \(A_5 = b_5 \cdot h_5 = 2 \cdot 2 = 4\) м\(^2\)
- Координаты центра тяжести:
- \(x_{c5} = \frac{8+10}{2} = 9\) м
- \(y_{c5} = \frac{3.5+5.5}{2} = \frac{9}{2} = 4.5\) м
Часть 6: Треугольник
- Вершины: (7, 0), (10, 3.5), (8, 3.5)
- Основание треугольника лежит на линии \(y=3.5\) и имеет длину \(b_6 = 10 - 8 = 2\) м.
- Высота треугольника от основания до вершины (7,0) равна \(h_6 = 3.5 - 0 = 3.5\) м.
- Площадь \(A_6 = \frac{1}{2} \cdot b_6 \cdot h_6 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3.5 = 3.5\) м\(^2\)
- Координаты центра тяжести (для произвольного треугольника с вершинами \((x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)\)):
- \(x_{c6} = \frac{7+10+8}{3} = \frac{25}{3}\) м
- \(y_{c6} = \frac{0+3.5+3.5}{3} = \frac{7}{3}\) м
Часть 7: Полукруг (вырезанная часть)
- Центр полукруга: (0, 4)
- Радиус \(R = 2\) м (от 2 до 6 по оси y, значит диаметр 4, радиус 2)
- Площадь \(A_7 = -\frac{1}{2} \pi R^2 = -\frac{1}{2} \pi (2)^2 = -2\pi\) м\(^2\) (отрицательная, так как это вырезанная часть)
- Координаты центра тяжести полукруга (для полукруга, вырезанного из правой части, центр тяжести находится на расстоянии \(\frac{4R}{3\pi}\) от диаметра по оси симметрии):
- \(x_{c7} = -\frac{4R}{3\pi} = -\frac{4 \cdot 2}{3\pi} = -\frac{8}{3\pi}\) м (отрицательное значение, так как полукруг вырезан слева от оси y)
- \(y_{c7} = 4\) м (центр диаметра полукруга)
2. Расчет общей площади фигуры:
Общая площадь \(A\) равна сумме площадей всех частей:
\[A = A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 + A_6 + A_7\] \[A = 4 + 5 + 14 + 2 + 4 + 3.5 - 2\pi\] \[A = 32.5 - 2\pi\]Используем приближенное значение \(\pi \approx 3.14159\):
\[A \approx 32.5 - 2 \cdot 3.14159 = 32.5 - 6.28318 = 26.21682\]Округлим до двух знаков после запятой:
\[A \approx 26.22 \text{ м}^2\]3. Расчет статических моментов и координат центра тяжести:
Статический момент относительно оси y (\(S_y\)):
\[S_y = \sum A_i \cdot x_{ci}\] \[S_y = A_1 x_{c1} + A_2 x_{c2} + A_3 x_{c3} + A_4 x_{c4} + A_5 x_{c5} + A_6 x_{c6} + A_7 x_{c7}\] \[S_y = 4 \cdot 1 + 5 \cdot \frac{11}{3} + 14 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 4 \cdot 9 + 3.5 \cdot \frac{25}{3} + (-2\pi) \cdot (-\frac{8}{3\pi})\] \[S_y = 4 + \frac{55}{3} + 56 + 14 + 36 + \frac{87.5}{3} + \frac{16}{3}\] \[S_y = 4 + 18.3333 + 56 + 14 + 36 + 29.1667 + 5.3333\] \[S_y = 162.8333 \text{ м}^3\]Статический момент относительно оси x (\(S_x\)):
\[S_x = \sum A_i \cdot y_{ci}\] \[S_x = A_1 y_{c1} + A_2 y_{c2} + A_3 y_{c3} + A_4 y_{c4} + A_5 y_{c5} + A_6 y_{c6} + A_7 y_{c7}\] \[S_x = 4 \cdot 1 + 5 \cdot \frac{2}{3} + 14 \cdot 3.75 + 2 \cdot 5 + 4 \cdot 4.5 + 3.5 \cdot \frac{7}{3} + (-2\pi) \cdot 4\] \[S_x = 4 + \frac{10}{3} + 52.5 + 10 + 18 + \frac{24.5}{3} - 8\pi\] \[S_x = 4 + 3.3333 + 52.5 + 10 + 18 + 8.1667 - 8\pi\] \[S_x = 96 - 8\pi\]Используем приближенное значение \(\pi \approx 3.14159\):
\[S_x \approx 96 - 8 \cdot 3.14159 = 96 - 25.13272 = 70.86728 \text{ м}^3\]Координата центра тяжести по оси x (\(x_c\)):
\[x_c = \frac{S_y}{A} = \frac{162.8333}{26.21682} \approx 6.210\]Округлим до двух знаков после запятой:
\[x_c \approx 6.21 \text{ м}\]Координата центра тяжести по оси y (\(y_c\)):
\[y_c = \frac{S_x}{A} = \frac{70.86728}{26.21682} \approx 2.703\]Округлим до двух знаков после запятой:
\[y_c \approx 2.70 \text{ м}\]Ответ:
Площадь плоской фигуры \(A \approx 26.22\) м\(^2\).
Координаты центра тяжести фигуры: \(x_c \approx 6.21\) м, \(y_c \approx 2.70\) м.