Задание 1. Построить график функции
Дана функция: \(y = 6x - 2\)
Это линейная функция, её график — прямая линия. Для построения прямой достаточно двух точек.
1. Выберем значение для \(x\), например, \(x = 0\).
Тогда \(y = 6 \cdot 0 - 2 = 0 - 2 = -2\).
Получаем точку \((0; -2)\).
2. Выберем другое значение для \(x\), например, \(x = 1\).
Тогда \(y = 6 \cdot 1 - 2 = 6 - 2 = 4\).
Получаем точку \((1; 4)\).
Теперь можно построить координатную плоскость, отметить эти две точки и провести через них прямую.
График будет выглядеть так:
(Примечание для школьника: нарисуйте координатные оси, отметьте точки (0, -2) и (1, 4), затем проведите через них прямую линию.)
Задание 2. Построить график функции
Дана функция: \(y = 3x^2 - 6x + 3\)
Это квадратичная функция, её график — парабола. Общий вид квадратичной функции: \(y = ax^2 + bx + c\).
В нашем случае \(a = 3\), \(b = -6\), \(c = 3\).
Поскольку \(a = 3 > 0\), ветви параболы направлены вверх.
1. Найдем координаты вершины параболы \((x_в; y_в)\).
Формула для \(x_в\): \(x_в = -\frac{b}{2a}\)
\(x_в = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = -\frac{-6}{6} = 1\)
Теперь найдем \(y_в\), подставив \(x_в\) в уравнение функции:
\(y_в = 3 \cdot (1)^2 - 6 \cdot 1 + 3 = 3 \cdot 1 - 6 + 3 = 3 - 6 + 3 = 0\)
Вершина параболы находится в точке \((1; 0)\).
2. Найдем точки пересечения с осями координат.
а) С осью \(Oy\) (\(x = 0\)):
\(y = 3 \cdot (0)^2 - 6 \cdot 0 + 3 = 0 - 0 + 3 = 3\)
Точка пересечения с \(Oy\): \((0; 3)\).
б) С осью \(Ox\) (\(y = 0\)):
\(3x^2 - 6x + 3 = 0\)
Разделим всё на 3:
\(x^2 - 2x + 1 = 0\)
Это формула квадрата разности: \((x - 1)^2 = 0\)
\(x - 1 = 0\)
\(x = 1\)
Точка пересечения с \(Ox\): \((1; 0)\). Это совпадает с вершиной параболы.
3. Найдем дополнительные точки для более точного построения. Парабола симметрична относительно прямой \(x = x_в\), то есть \(x = 1\).
Возьмем \(x = 2\):
\(y = 3 \cdot (2)^2 - 6 \cdot 2 + 3 = 3 \cdot 4 - 12 + 3 = 12 - 12 + 3 = 3\)
Точка \((2; 3)\).
У нас есть точки: \((1; 0)\) (вершина), \((0; 3)\), \((2; 3)\).
График будет выглядеть так:
(Примечание для школьника: нарисуйте координатные оси, отметьте вершину (1, 0), точки (0, 3) и (2, 3), затем проведите через них параболу с ветвями вверх.)
Задание 3. Найти область определения и построить график функции
Дана функция: \(y = \sqrt{x} - y\)
В условии задачи, скорее всего, опечатка, и функция должна быть вида \(y = \sqrt{x} - C\) или \(y = \sqrt{x} - x\), или что-то подобное. Если это \(y = \sqrt{x} - y\), то это неявная функция, и её нужно преобразовать.
Предположим, что имелась в виду функция \(y = \sqrt{x}\).
Область определения:
Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным.
\(x \ge 0\)
Таким образом, область определения функции: \(x \in [0; +\infty)\).
Построение графика:
Для построения графика функции \(y = \sqrt{x}\) возьмем несколько точек:
1. Если \(x = 0\), то \(y = \sqrt{0} = 0\). Точка \((0; 0)\).
2. Если \(x = 1\), то \(y = \sqrt{1} = 1\). Точка \((1; 1)\).
3. Если \(x = 4\), то \(y = \sqrt{4} = 2\). Точка \((4; 2)\).
4. Если \(x = 9\), то \(y = \sqrt{9} = 3\). Точка \((9; 3)\).
График будет выглядеть так:
(Примечание для школьника: нарисуйте координатные оси, отметьте точки (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3) и проведите через них плавную кривую, начинающуюся в (0,0) и идущую вправо вверх.)
Если же функция действительно была \(y = \sqrt{x} - y\), то:
\(y + y = \sqrt{x}\)
\(2y = \sqrt{x}\)
\(y = \frac{\sqrt{x}}{2}\)
Область определения:
Так же, как и для \(y = \sqrt{x}\), выражение под корнем должно быть неотрицательным:
\(x \ge 0\)
Область определения: \(x \in [0; +\infty)\).
Построение графика:
1. Если \(x = 0\), то \(y = \frac{\sqrt{0}}{2} = 0\). Точка \((0; 0)\).
2. Если \(x = 1\), то \(y = \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2}\). Точка \((1; 0.5)\).
3. Если \(x = 4\), то \(y = \frac{\sqrt{4}}{2} = \frac{2}{2} = 1\). Точка \((4; 1)\).
4. Если \(x = 9\), то \(y = \frac{\sqrt{9}}{2} = \frac{3}{2} = 1.5\). Точка \((9; 1.5)\).
График будет похож на график \(y = \sqrt{x}\), но будет "прижат" к оси \(Ox\).
(Примечание для школьника: нарисуйте координатные оси, отметьте точки (0, 0), (1, 0.5), (4, 1), (9, 1.5) и проведите через них плавную кривую.)
Я буду исходить из предположения, что в задании 3 имелась в виду функция \(y = \sqrt{x}\), так как это более стандартная формулировка для школьных задач.
Задание 4. Найти область определения и построить график функции
Дана функция: \(y = \frac{4x + 13}{x^2 - 4x}\)
Область определения:
Функция содержит дробь, поэтому знаменатель не может быть равен нулю.
\(x^2 - 4x \ne 0\)
Вынесем \(x\) за скобки:
\(x(x - 4) \ne 0\)
Это означает, что:
\(x \ne 0\)
и
\(x - 4 \ne 0 \Rightarrow x \ne 4\)
Таким образом, область определения функции: все действительные числа, кроме \(0\) и \(4\).
В интервальной записи: \(x \in (-\infty; 0) \cup (0; 4) \cup (4; +\infty)\).
Построение графика:
Построение графика рациональной функции — это более сложная задача, чем построение линейных или квадратичных функций. Она включает нахождение асимптот, точек пересечения с осями, интервалов возрастания/убывания и выпуклости/вогнутости.
1. Вертикальные асимптоты: \(x = 0\) и \(x = 4\).
2. Горизонтальные асимптоты: Степень числителя (1) меньше степени знаменателя (2), поэтому горизонтальная асимптота \(y = 0\).
3. Точки пересечения с осями:
а) С осью \(Oy\) (\(x = 0\)): Функция не определена при \(x = 0\), поэтому пересечений с \(Oy\) нет.
б) С осью \(Ox\) (\(y = 0\)):
\(\frac{4x + 13}{x^2 - 4x} = 0\)
Это возможно, только если числитель равен нулю:
\(4x + 13 = 0\)
\(4x = -13\)
\(x = -\frac{13}{4} = -3.25\)
Точка пересечения с \(Ox\): \((-3.25; 0)\).
4. Поведение функции вблизи асимптот и на бесконечности:
* При \(x \to 0^-\), \(y \to -\infty\)
* При \(x \to 0^+\), \(y \to +\infty\)
* При \(x \to 4^-\), \(y \to -\infty\)
* При \(x \to 4^+\), \(y \to +\infty\)
* При \(x \to \pm\infty\), \(y \to 0\)
Для школьника построение такого графика вручную может быть затруднительным без дополнительных инструментов или более глубокого анализа производных. Однако, зная асимптоты и точку пересечения с \(Ox\), можно сделать схематичный набросок.
График будет выглядеть примерно так:
(Примечание для школьника: нарисуйте координатные оси. Проведите пунктирные вертикальные линии \(x=0\) (ось \(Oy\)) и \(x=4\). Проведите пунктирную горизонтальную линию \(y=0\) (ось \(Ox\)). Отметьте точку \((-3.25; 0)\). Затем нарисуйте три ветви графика, приближающиеся к асимптотам.)
Задание 5. Найти область определения и построить график функции
Дана функция: \(y = \sqrt{x+5} + \sqrt{3-x}\)
Область определения:
Функция содержит два квадратных корня. Каждое выражение под корнем должно быть неотрицательным.
1. Для первого корня: \(x + 5 \ge 0\)
\(x \ge -5\)
2. Для второго корня: \(3 - x \ge 0\)
\(3 \ge x\)
или \(x \le 3\)
Чтобы функция была определена, оба условия должны выполняться одновременно. То есть, \(x\) должен быть больше или равен \(-5\) И меньше или равен \(3\).
Область определения: \(x \in [-5; 3]\).
Построение графика:
Построение графика такой функции вручную также является достаточно сложной задачей, требующей анализа производных для нахождения экстремумов и интервалов выпуклости/вогнутости. Для школьника обычно достаточно найти область определения и, возможно, несколько ключевых точек.
Найдем значения функции на границах области определения и в нескольких промежуточных точках.
1. При \(x = -5\):
\(y = \sqrt{-5+5} + \sqrt{3-(-5)} = \sqrt{0} + \sqrt{3+5} = 0 + \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2 \cdot 1.41 = 2.82\)
Точка \((-5; 2\sqrt{2})\).
2. При \(x = 3\):
\(y = \sqrt{3+5} + \sqrt{3-3} = \sqrt{8} + \sqrt{0} = 2\sqrt{2} + 0 = 2\sqrt{2} \approx 2.82\)
Точка \((3; 2\sqrt{2})\).
3. При \(x = 0\) (промежуточная точка):
\(y = \sqrt{0+5} + \sqrt{3-0} = \sqrt{5} + \sqrt{3} \approx 2.24 + 1.73 = 3.97\)
Точка \((0; \sqrt{5} + \sqrt{3})\).
4. При \(x = -1\) (промежуточная точка):
\(y = \sqrt{-1+5} + \sqrt{3-(-1)} = \sqrt{4} + \sqrt{4} = 2 + 2 = 4\)
Точка \((-1; 4)\).
График этой функции будет представлять собой кривую, которая начинается