Решение задачи 7: Объем цилиндра, описанного около призмы

Решим задачу 7. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны \(7/\pi\). Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы. Решение: 1. Найдем гипотенузу прямоугольного треугольника, лежащего в основании призмы. Пусть катеты \(a = 6\) и \(b = 8\). Гипотенуза \(c\) находится по теореме Пифагора: \[c^2 = a^2 + b^2\] \[c^2 = 6^2 + 8^2\] \[c^2 = 36 + 64\] \[c^2 = 100\] \[c = \sqrt{100}\] \[c = 10\] 2. Цилиндр описан около призмы. Это означает, что окружность основания цилиндра описана около основания призмы. Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности \(R\) равен половине гипотенузы. \[R = \frac{c}{2}\] \[R = \frac{10}{2}\] \[R = 5\] 3. Высота цилиндра \(H\) равна длине бокового ребра призмы. По условию, боковые ребра равны \(7/\pi\). Значит, \(H = \frac{7}{\pi}\). 4. Найдем объем цилиндра. Формула объема цилиндра: \[V = \pi R^2 H\] Подставим найденные значения \(R\) и \(H\): \[V = \pi \cdot 5^2 \cdot \frac{7}{\pi}\] \[V = \pi \cdot 25 \cdot \frac{7}{\pi}\] Сократим \(\pi\): \[V = 25 \cdot 7\] \[V = 175\] Ответ: Объем цилиндра равен 175.