Хорошо, давайте заполним таблицу.
Для начала, нам нужно определить, какие формулы используются для расчёта \(\Delta P\), \(\lambda\) и \(d\).
Из предоставленных изображений видно, что:
1. Разность давлений \(\Delta P\) рассчитывается по формуле:
\[\Delta P = \rho_в \cdot g \cdot \frac{h_1 + h_2}{2}\]
где \(\rho_в\) - плотность воды (1000 кг/м³), \(g\) - ускорение свободного падения (9,81 м/с²), \(h_1\) и \(h_2\) - показания манометра.
2. Длина свободного пробега \(\lambda\) рассчитывается по формуле:
\[\lambda = \frac{3 \pi r^4 \Delta P t}{16 V L P} \sqrt{\frac{\pi R T}{2 M}}\]
где \(r\) - радиус капилляра, \(\Delta P\) - разность давлений, \(t\) - время, \(V\) - объем, \(L\) - длина капилляра, \(P\) - давление, \(R\) - универсальная газовая постоянная (8,31 Дж/(моль·К)), \(T\) - температура, \(M\) - молярная масса воздуха (0,029 кг/моль).
3. Эффективный диаметр молекул \(d\) рассчитывается по формуле:
\[\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}\]
где \(n\) - концентрация молекул, которая может быть выражена через давление и температуру:
\[n = \frac{P}{k T}\]
где \(k\) - постоянная Больцмана (\(1,38 \cdot 10^{-23}\) Дж/К).
Тогда:
\[\lambda = \frac{k T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}\]
Отсюда выразим \(d\):
\[d^2 = \frac{k T}{\sqrt{2} \pi \lambda P}\]
\[d = \sqrt{\frac{k T}{\sqrt{2} \pi \lambda P}}\]
Даны размеры капилляра:
\(r = 0,5 \text{ мм} = 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}\)
\(L = 90 \text{ мм} = 90 \cdot 10^{-3} \text{ м}\)
Давайте рассчитаем значения для каждой строки.
Расчеты для первой строки:
Дано:
\(t = 30 \text{ с}\)
\(V = 490 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3\)
\(h_1 = 0,137 \text{ м}\)
\(h_2 = 0,038 \text{ м}\)
\(T_k = 296 \text{ К}\)
\(P = 99,8 \cdot 10^3 \text{ Па}\)
1. Расчет \(\Delta P\):
\[\Delta P_1 = 1000 \cdot 9,81 \cdot \frac{0,137 + 0,038}{2} = 1000 \cdot 9,81 \cdot \frac{0,175}{2} = 1000 \cdot 9,81 \cdot 0,0875 = 858,375 \text{ Па}\]
Округлим до 858,4 Па, как в примере.
2. Расчет \(\lambda\):
\[\lambda_1 = \frac{3 \pi r^4 \Delta P_1 t}{16 V_1 L P_1} \sqrt{\frac{\pi R T_k}{2 M}}\]
Подставим значения:
\(r = 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}\)
\(L = 90 \cdot 10^{-3} \text{ м}\)
\(R = 8,31 \text{ Дж/(моль·К)}\)
\(M = 0,029 \text{ кг/моль}\) (молярная масса воздуха)
\[\lambda_1 = \frac{3 \cdot 3,14 \cdot (0,5 \cdot 10^{-3})^4 \cdot 858,4 \cdot 30}{16 \cdot 490 \cdot 10^{-6} \cdot 90 \cdot 10^{-3} \cdot 99,8 \cdot 10^3} \sqrt{\frac{3,14 \cdot 8,31 \cdot 296}{2 \cdot 0,029}}\]
\[\lambda_1 = \frac{3 \cdot 3,14 \cdot 0,0625 \cdot 10^{-12} \cdot 858,4 \cdot 30}{16 \cdot 490 \cdot 10^{-6} \cdot 90 \cdot 10^{-3} \cdot 99,8 \cdot 10^3} \sqrt{\frac{7730,976}{0,058}}\]
\[\lambda_1 = \frac{5060,4 \cdot 10^{-12}}{70488 \cdot 10^{-6}} \sqrt{133292,69}\]
\[\lambda_1 = 0,07179 \cdot 10^{-6} \cdot 365,09\]
\[\lambda_1 = 26,21 \cdot 10^{-6} \text{ м}\]
В примере на фото получилось \(9,97 \cdot 10^{-8}\) м. Возможно, я использую другую формулу или другие константы. Давайте проверим формулу из примера.
В примере:
\[\lambda_1 = \frac{3 \cdot 3,14 \cdot (0,5 \cdot 10^{-3})^4 \cdot 858,4 \cdot 30}{16 \cdot 490 \cdot 10^{-6} \cdot 90 \cdot 10^{-3} \cdot 99,8 \cdot 10^3} \sqrt{\frac{3,14 \cdot 8,31 \cdot 296}{2 \cdot 18 \cdot 10^{-3}}}\]
Здесь \(M = 18 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}\), что соответствует молярной массе воды, а не воздуха. Если это воздух, то молярная масса 29 г/моль.
Давайте пересчитаем с \(M = 0,029 \text{ кг/моль}\) (молярная масса воздуха).
\[\lambda_1 = \frac{3 \cdot 3,14 \cdot (0,5 \cdot 10^{-3})^4 \cdot 858,4 \cdot 30}{16 \cdot 490 \cdot 10^{-6} \cdot 90 \cdot 10^{-3} \cdot 99,8 \cdot 10^3} \sqrt{\frac{3,14 \cdot 8,31 \cdot 296}{2 \cdot 0,029}}\]
Числитель первой дроби: \(3 \cdot 3,14 \cdot (0,5 \cdot 10^{-3})^4 \cdot 858,4 \cdot 30 = 3 \cdot 3,14 \cdot 0,0625 \cdot 10^{-12} \cdot 858,4 \cdot 30 = 5060,4 \cdot 10^{-12}\)
Знаменатель первой дроби: \(16 \cdot 490 \cdot 10^{-6} \cdot 90 \cdot 10^{-3} \cdot 99,8 \cdot 10^3 = 16 \cdot 490 \cdot 90 \cdot 99,8 \cdot 10^{-6} \cdot 10^{-3} \cdot 10^3 = 70488000 \cdot 10^{-6} = 70,488\)
Первая дробь: \(\frac{5060,4 \cdot 10^{-12}}{70,488} = 71,79 \cdot 10^{-12}\)
Под корнем: \(\frac{3,14 \cdot 8,31 \cdot 296}{2 \cdot 0,029} = \frac{7730,976}{0,058} = 133292,69\)
\(\sqrt{133292,69} = 365,09\)
Тогда \(\lambda_1 = 71,79 \cdot 10^{-12} \cdot 365,09 = 26208,9 \cdot 10^{-12} = 2,62 \cdot 10^{-8} \text{ м}\)
Если использовать \(M = 18 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}\) (как в примере, но это молярная масса воды, что странно для воздуха):
Под корнем: \(\frac{3,14 \cdot 8,31 \cdot 296}{2 \cdot 18 \cdot 10^{-3}} = \frac{7730,976}{0,036} = 214749,33\)
\(\sqrt{214749,33} = 463,41\)
Тогда \(\lambda_1 = 71,79 \cdot 10^{-12} \cdot 463,41 = 33267,9 \cdot 10^{-12} = 3,33 \cdot 10^{-8} \text{ м}\)
Значение \(9,97 \cdot 10^{-8}\) м, полученное в примере, не совпадает ни с одним из моих расчетов. Возможно, есть ошибка в переписывании формулы или констант.
Давайте предположим, что значение \(\lambda_1 = 9,97 \cdot 10^{-8}\) м из примера является верным для первой строки и будем использовать его для дальнейших расчетов.
3. Расчет \(d\):
\[d_1 = \sqrt{\frac{k T_k}{\sqrt{2} \pi \lambda_1 P_1}}\]
\(k = 1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}\)
\[d_1 = \sqrt{\frac{1,38 \cdot 10^{-23} \cdot 296}{\sqrt{2} \cdot 3,14 \cdot 9,97 \cdot 10^{-8} \cdot 99,8 \cdot 10^3}}\]
\[d_1 = \sqrt{\frac{408,48 \cdot 10^{-23}}{1,414 \cdot 3,14 \cdot 9,97 \cdot 99,8 \cdot 10^{-8} \cdot 10^3}}\]
\[d_1 = \sqrt{\frac{408,48 \cdot 10^{-23}}{4428,9 \cdot 10^{-5}}}\]
\[d_1 = \sqrt{\frac{408,48 \cdot 10^{-23}}{0,044289}}\]
\[d_1 = \sqrt{9222,9 \cdot 10^{-23}} = \sqrt{9,2229 \cdot 10^{-20}}\]
\[d_1 = 3,037 \cdot 10^{-10} \text{ м}\]
Расчеты для остальных строк:
Будем использовать те же формулы.
Строка 2:
Дано:
\(t = 30 \text{ с}\)
\(V = 480 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3\)
\(h_1 = 0,136 \text{ м}\)
\(h_2 = 0,039 \text{ м}\)
\(T_k = 296 \text{ К}\)
\(P = 99,8 \cdot 10^3 \text{ Па}\)
1. Расчет \(\Delta P_2\):
\[\Delta P_2 = 1000 \cdot 9,81 \cdot \frac{0,136 + 0,039}{2} = 1000 \cdot 9,81 \cdot \frac{0,175}{2} = 858,375 \text{ Па} \approx 858,4 \text{ Па}\]
2. Расчет \(\lambda_2\):
Используем формулу с \(M = 0,029 \text{ кг/моль}\) для воздуха.
\[\lambda_2 = \frac{3 \cdot 3,14 \cdot (0,5 \cdot 10^{-3})^4 \cdot 858,4 \cdot 30}{16 \cdot 480 \cdot 10^{-6} \cdot 90 \cdot 10^{-3} \cdot 99,8 \cdot 10^3} \sqrt{\frac{3,14 \cdot 8,31 \cdot 296}{2 \cdot 0,029}}\]
Первая дробь: \(\frac{5060,4 \cdot 10^{-12}}{16 \cdot 480 \cdot 90 \cdot 99,8 \cdot 10^{-6} \cdot 10^{-3} \cdot 10^3} = \frac{5060,4 \cdot 10^{-12}}{69062400 \cdot 10^{-6}} = \frac{5060,4 \cdot 10^{-12}}{69,0624} = 73,27 \cdot 10^{-12}\)
Корень: \(365,09\)
\[\lambda_2 = 73,27 \cdot 10^{-12} \cdot 365,09 = 26759,9 \cdot 10^{-12} = 2,68 \cdot 10^{-8} \text{ м}\]
3. Расчет \(d_2\):
\[d_2 = \sqrt{\frac{1,38 \cdot 10^{-23} \cdot 296}{\sqrt{2} \cdot 3,14 \cdot 2,68 \cdot 10^{-8} \cdot 99,8 \cdot 10^3}}\]
\[d_2 = \sqrt{\frac{408,48 \cdot 10^{-23}}{1,414 \cdot 3,14 \cdot 2,68 \cdot 99,8 \cdot 10^{-8} \cdot 10^3}}\]
\[d_2 = \sqrt{\frac{408,48 \cdot 10^{-23}}{1185,9 \cdot 10^{-5}}} = \sqrt{\frac{408,48 \cdot 10^{-23}}{0,011859}}\]
\[d_2 = \sqrt{34444,7 \cdot 10^{-23}} = \sqrt{3,44447 \cdot 10^{-19}}\]
\[d_2 = 5,87 \cdot 10^{-10} \text{ м}\]
Строка 3:
Дано:
\(t = 30 \text{ с}\)
\(V = 485 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3\)
\(h_1 = 0,136 \text{ м}\)
\(h_2 = 0,038 \text{ м}\)
\(T_k = 296 \text{ К}\)
\(P = 99,8 \cdot 10^3 \text{ Па}\)
1. Расчет \(\Delta P_3\):
\[\Delta P_3 = 1000 \cdot 9,81 \cdot \frac{0,136 + 0,038}{2} = 1000 \cdot 9,81 \cdot \frac{0,174}{2} = 1000 \cdot 9,81 \cdot 0,087 = 853,47 \text{ Па}\]
2. Расчет \(\lambda_3\):
\[\lambda_3 = \frac{3 \cdot 3,14 \cdot (0,5 \cdot 10^{-3})^4 \cdot 853,47 \cdot 30}{16 \cdot 485 \cdot 10^{-6} \cdot 90 \cdot 10^{-3} \cdot 99,8 \cdot 10^3} \sqrt{\
