Решение задачи: Расчет ΔP и λ

Хорошо, давайте заполним таблицу, используя предоставленные данные и формулы. Сначала определим, что нам нужно найти. В таблице есть столбцы для \(\Delta P\) (разность давлений) и \(\lambda\) (длина свободного пробега). Для расчета \(\Delta P\) используется формула: \[\Delta P = \rho_в \cdot g \cdot \frac{h_1 + h_2}{2}\] где: \(\rho_в\) - плотность воды (принимаем \(1000 \text{ кг/м}^3\)) \(g\) - ускорение свободного падения (принимаем \(9,81 \text{ м/с}^2\)) \(h_1\) и \(h_2\) - показания высот из таблицы. Для расчета \(\lambda\) используется формула: \[\lambda = \frac{3 \pi r^4 \Delta P t}{16 V l P} \sqrt{\frac{\pi R T}{2 M}}\] где: \(r\) - радиус капилляра (в данном случае, судя по расчетам, \(r = 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}\)) \(\Delta P\) - разность давлений, которую мы рассчитаем \(t\) - время (из таблицы, но в расчетах используется \(t=30\), что, вероятно, является временем истечения, а не температурой) \(V\) - объем (из таблицы) \(l\) - длина капилляра (в расчетах используется \(l = 90 \cdot 10^{-3} \text{ м}\)) \(P\) - давление (из таблицы) \(R\) - универсальная газовая постоянная (\(8,31 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)}\)) \(T\) - температура в Кельвинах (из таблицы, \(T_K\)) \(M\) - молярная масса воздуха (в расчетах используется \(M = 29 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}\)) Давайте рассчитаем значения для каждой строки таблицы.

Расчеты для первой строки:

Дано: \(t = 30 \text{ с}\) (предполагаем, что это время истечения, как в расчетах) \(V = 490 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3\) \(h_1 = 0,137 \text{ м}\) \(h_2 = 0,038 \text{ м}\) \(T_K = 296 \text{ К}\) \(P = 99,8 \cdot 10^3 \text{ Па}\) \(r = 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}\) \(l = 90 \cdot 10^{-3} \text{ м}\) 1. Расчет \(\Delta P\): \[\Delta P = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9,81 \text{ м/с}^2 \cdot \frac{0,137 \text{ м} + 0,038 \text{ м}}{2}\] \[\Delta P = 1000 \cdot 9,81 \cdot \frac{0,175}{2}\] \[\Delta P = 1000 \cdot 9,81 \cdot 0,0875\] \[\Delta P = 858,375 \text{ Па}\] Округлим до одного знака после запятой, как в примере: \(\Delta P \approx 858,4 \text{ Па}\). 2. Расчет \(\lambda\): \[\lambda = \frac{3 \cdot 3,14 \cdot (0,5 \cdot 10^{-3})^4 \cdot 858,4 \cdot 30}{16 \cdot 490 \cdot 10^{-6} \cdot 90 \cdot 10^{-3} \cdot 99,8 \cdot 10^3} \sqrt{\frac{3,14 \cdot 8,31 \cdot 296}{2 \cdot 29 \cdot 10^{-3}}}\] Вычислим части выражения: Числитель первой дроби: \(3 \cdot 3,14 \cdot (0,5 \cdot 10^{-3})^4 \cdot 858,4 \cdot 30 = 3 \cdot 3,14 \cdot 0,0625 \cdot 10^{-12} \cdot 858,4 \cdot 30 = 505,5 \cdot 10^{-12}\) Знаменатель первой дроби: \(16 \cdot 490 \cdot 10^{-6} \cdot 90 \cdot 10^{-3} \cdot 99,8 \cdot 10^3 = 16 \cdot 490 \cdot 90 \cdot 99,8 \cdot 10^{-6-3+3} = 16 \cdot 490 \cdot 90 \cdot 99,8 \cdot 10^{-6} = 704577600 \cdot 10^{-6} = 704,5776\) Первая дробь: \(\frac{505,5 \cdot 10^{-12}}{704,5776} \approx 0,7174 \cdot 10^{-12}\) Под корнем: \(\frac{3,14 \cdot 8,31 \cdot 296}{2 \cdot 29 \cdot 10^{-3}} = \frac{7720,8}{0,058} \approx 133117,24\) Корень из этого значения: \(\sqrt{133117,24} \approx 364,85\) Теперь умножим: \(\lambda = 0,7174 \cdot 10^{-12} \cdot 364,85 \approx 261,7 \cdot 10^{-12} \text{ м} = 2,617 \cdot 10^{-10} \text{ м}\) В примере указано \(2,3 \cdot 10^{-8} \text{ м}\) или \(2,97 \cdot 10^{-8} \text{ м}\). Возможно, есть ошибка в исходных данных или формуле, или в значении \(t\). Если \(t\) - это температура, то она уже есть в \(T_K\). Если \(t\) - это время, то оно должно быть в секундах. В примере расчетов \(t=30\) используется в числителе, что соответствует времени. Давайте перепроверим расчеты. Пересчитаем первую дробь более точно: Числитель: \(3 \cdot \pi \cdot (0,5 \cdot 10^{-3})^4 \cdot 858,4 \cdot 30 = 3 \cdot 3,14159 \cdot (6,25 \cdot 10^{-14}) \cdot 858,4 \cdot 30 \approx 1,514 \cdot 10^{-9}\) Знаменатель: \(16 \cdot 490 \cdot 10^{-6} \cdot 90 \cdot 10^{-3} \cdot 99,8 \cdot 10^3 = 16 \cdot 490 \cdot 90 \cdot 99,8 \cdot 10^{-6} = 704577600 \cdot 10^{-6} = 704,5776\) Первая дробь: \(\frac{1,514 \cdot 10^{-9}}{704,5776} \approx 2,149 \cdot 10^{-12}\) Под корнем: \(\frac{\pi R T}{2 M} = \frac{3,14159 \cdot 8,31 \cdot 296}{2 \cdot 29 \cdot 10^{-3}} = \frac{7720,8}{0,058} \approx 133117,24\) Корень: \(\sqrt{133117,24} \approx 364,85\) \(\lambda = 2,149 \cdot 10^{-12} \cdot 364,85 \approx 784,0 \cdot 10^{-12} \text{ м} = 7,84 \cdot 10^{-10} \text{ м}\) Это все еще не совпадает с \(2,3 \cdot 10^{-8} \text{ м}\). Давайте посмотрим на пример расчета на фотографии. В примере: \(\Delta P_1 = 1000 \cdot 9,81 \cdot \frac{0,137+0,038}{2} = 858,4 \text{ Па}\) - это совпадает. \(\lambda_1 = \frac{3 \cdot 3,14 \cdot (0,5 \cdot 10^{-3})^4 \cdot 858,4 \cdot 30}{16 \cdot 490 \cdot 10^{-6} \cdot 90 \cdot 10^{-3} \cdot 99,8 \cdot 10^3} \sqrt{\frac{3,14 \cdot 8,31 \cdot 296}{2 \cdot 29 \cdot 10^{-3}}}\) Результат в примере: \(9,97 \cdot 10^{-8} \text{ м}\) (зачеркнуто) и \(2,3 \cdot 10^{-8} \text{ м}\). Возможно, в формуле или в значениях констант есть нюансы. Давайте попробуем вычислить значение первой дроби и корня отдельно, как это сделано в примере. Первая дробь: \(\frac{3 \cdot 3,14 \cdot (0,5 \cdot 10^{-3})^4 \cdot 858,4 \cdot 30}{16 \cdot 490 \cdot 10^{-6} \cdot 90 \cdot 10^{-3} \cdot 99,8 \cdot 10^3}\) Числитель: \(3 \cdot 3,14 \cdot (0,5^4 \cdot 10^{-12}) \cdot 858,4 \cdot 30 = 3 \cdot 3,14 \cdot (0,0625 \cdot 10^{-12}) \cdot 858,4 \cdot 30 = 505,5 \cdot 10^{-12}\) Знаменатель: \(16 \cdot 490 \cdot 90 \cdot 99,8 \cdot 10^{-6} = 704577600 \cdot 10^{-6} = 704,5776\) Первая дробь: \(\frac{505,5 \cdot 10^{-12}}{704,5776} \approx 0,7174 \cdot 10^{-12}\) Корень: \(\sqrt{\frac{3,14 \cdot 8,31 \cdot 296}{2 \cdot 29 \cdot 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{7720,8}{0,058}} = \sqrt{133117,24} \approx 364,85\) \(\lambda = 0,7174 \cdot 10^{-12} \cdot 364,85 \approx 261,7 \cdot 10^{-12} \text{ м} = 2,617 \cdot 10^{-10} \text{ м}\) Возможно, в формуле, которую я использую, есть ошибка или в данных. Давайте предположим, что \(t\) в формуле \(\lambda\) - это не время, а что-то другое, или что \(V\) - это не объем, а скорость. Но по единицам измерения \(V\) - это объем. Если \(t\) в формуле - это температура, то она уже учтена в \(T\). Если \(t\) - это время, то оно должно быть в секундах. В таблице \(t\) указано в (с), что обычно означает секунды. Но в столбце \(t\) все значения 30. Это может быть время истечения. Давайте попробуем "подогнать" под результат \(2,3 \cdot 10^{-8} \text{ м}\). Если \(\lambda = 2,3 \cdot 10^{-8} \text{ м}\), то \(\frac{3 \pi r^4 \Delta P t}{16 V l P} = \frac{2,3 \cdot 10^{-8}}{364,85} \approx 6,30 \cdot 10^{-11}\) А у нас получилось \(0,7174 \cdot 10^{-12}\). Разница в 100 раз. Это может быть связано с тем, что \(r\) в формуле - это радиус, а в таблице его нет. Я взял \(0,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}\) из примера. Также \(l\) - длина капилляра, я взял \(90 \cdot 10^{-3} \text{ м}\) из примера. Давайте еще раз внимательно посмотрим на формулу и значения в примере. В примере \(3,14 \cdot (0,5 \cdot 10^{-3})^4 \cdot 858,4 \cdot 30\) \(16 \cdot 490 \cdot 10^{-6} \cdot 90 \cdot 10^{-3} \cdot 99,8 \cdot 10^3\) Корень: \(\sqrt{\frac{3,14 \cdot 8,31 \cdot 296}{2 \cdot 29 \cdot 10^{-3}}}\) Результат \(2,3 \cdot 10^{-8} \text{ м}\). Если мы возьмем \(t\) из таблицы как температуру в Цельсиях, то это нелогично, так как есть \(T_K\). Предположим, что \(t\) в формуле - это не время, а что-то другое, или что \(t\) в таблице - это не время, а температура в Цельсиях, но тогда она не используется в формуле \(\lambda\). Наиболее вероятно, что \(t\) в формуле - это время истечения, и оно равно 30 с для всех измерений. Давайте попробуем использовать значение \(9,97 \cdot 10^{-8} \text{ м}\) из примера, которое зачеркнуто, но ближе к \(2,3 \cdot 10^{-8} \text{ м}\). Если \(t\) в формуле - это не 30, а другое число? Если \(r\) или \(l\) другие? Давайте предположим, что в примере расчета есть опечатка в степени \(10^{-3}\) для \(r\). Если \(r = 0,5 \cdot 10^{-2} \text{ м}\) (то есть 5 мм), то \(r^4 = (0,5 \cdot 10^{-2})^4 = 0,0625 \cdot 10^{-8}\). Тогда числитель первой дроби: \(3 \cdot 3,14 \cdot (0,0625 \cdot 10^{-8}) \cdot 858,4 \cdot 30 = 505,5 \cdot 10^{-8}\). Первая дробь: \(\frac{505,5 \cdot 10^{-8}}{704,5776} \approx 0,7174 \cdot 10^{-8}\). \(\lambda = 0,7174 \cdot 10^{-8} \cdot 364,85 \approx 261,7 \cdot 10^{-8} \text{ м} = 2,617 \cdot 10^{-6} \text{ м}\). Это слишком много. Вернемся к \(r = 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}\). Возможно, в формуле \(\lambda\) есть множитель, который я не учел, или константа. Давайте попробуем вычислить \(\lambda\) для первой строки, используя результат из примера \(2,3 \cdot 10^{-8} \text{ м}\). Если мы используем этот результат, то для остальных строк мы можем просто пересчитать \(\Delta P\) и затем \(\lambda\). Давайте еще раз проверим расчеты для первой строки, чтобы убедиться, что нет арифметических ошибок. \(\Delta P = 858,4 \text{ Па}\) \(\lambda = \frac{3 \pi r^4 \Delta P t}{16 V l P} \sqrt{\frac{\pi R T}{2 M}}\) \(r = 0,5 \cdot 10^{-