Разбор раскрытия произведения с оператором набла

При анализе данного вывода важно учитывать специфику работы с оператором набла \( \nabla \), который является одновременно и вектором, и дифференциальным оператором. Ошибки в итоговой формуле нет, но есть нюанс в промежуточной записи, который часто вызывает вопросы у школьников и студентов. Давайте разберем, почему раскрытие происходит именно так. 1. Особенности оператора набла В обычном векторном тождестве \( [\vec{a}, [\vec{b}, \vec{c}]] = \vec{b}(\vec{a}, \vec{c}) - \vec{c}(\vec{a}, \vec{b}) \) порядок множителей в скалярном произведении не важен, так как это просто числа. Однако для оператора \( \nabla \) порядок критически важен, так как он «дифференцирует» то, что стоит справа от него. 2. Раскрытие двойного ротора Когда мы пишем \( [\nabla, [\nabla, \vec{E}]] \), мы подразумеваем: \[ \text{rot}(\text{rot} \vec{E}) = \text{grad}(\text{div} \vec{E}) - \Delta \vec{E} \] Где \( \Delta = \nabla^2 \) — оператор Лапласа. В тексте на картинке запись \( \vec{E}(\nabla, \nabla) \) выглядит необычно, так как стандартно оператор пишется перед функцией: \( (\nabla, \nabla)\vec{E} \). Однако авторы часто используют такую перестановку, чтобы подчеркнуть применение правила «бац минус цаб», где вектор \( \vec{c} \) (в нашем случае \( \vec{E} \)) выносится за скобку. 3. Почему это правильно? Математически строго это записывается через компоненты. Если рассмотреть второе слагаемое: \[ (\vec{a}, \vec{b})\vec{c} \rightarrow (\nabla, \nabla)\vec{E} \] Здесь \( (\nabla, \nabla) \) — это скалярный оператор: \[ \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \] Этот оператор применяется к каждой компоненте вектора \( \vec{E} \). Запись \( \vec{E}(\nabla, \nabla) \) в учебном тексте — это лишь способ показать, что \( \vec{E} \) занял место вектора «ц» в формуле, но фактически подразумевается именно действие оператора на вектор. 4. Проверка по уравнениям Максвелла В правой части картинки мы видим: \[ -\mu\mu_0 \frac{\partial}{\partial t} [\nabla, \vec{H}] \] Это абсолютно верно, так как: - По закону Фарадея: \( [\nabla, \vec{E}] = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = -\mu\mu_0 \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} \). - Взяв ротор от обеих частей, мы получаем \( [\nabla, [\nabla, \vec{E}]] \). - Далее используется закон Ампера-Максвелла для вакуума или диэлектрика: \( [\nabla, \vec{H}] = \varepsilon\varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \). Подстановка одного в другое дает вторую производную по времени: \[ \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) = \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} \] Вывод: Ошибки в физическом смысле и конечном уравнении (6) нет. Запись \( \vec{E}(\nabla, \nabla) \) является допустимой в контексте формального применения векторного тождества, хотя в строгой математической записи оператор Лапласа всегда пишут перед вектором: \( \nabla^2 \vec{E} \). Для школьной тетради лучше придерживаться стандартного порядка, указанного в конечном уравнении.