Звичайно, давайте розберемося з цими завданнями.
***
Завдання 1: Розстав довжини сторін таким чином, щоб отримати подібні трикутники.
На першому зображенні ми бачимо два трикутники. Один сірий, з відомими сторонами 15, 18, 21. Другий рожевий, з невідомими сторонами, які потрібно заповнити з наданих значень: 25, 30, 35.
Щоб трикутники були подібними, їхні відповідні сторони повинні бути пропорційними. Знайдемо співвідношення сторін сірого трикутника:
Сторони сірого трикутника: 15, 18, 21.
Розташуємо їх у порядку зростання: 15, 18, 21.
Сторони, які потрібно розставити: 25, 30, 35.
Розташуємо їх у порядку зростання: 25, 30, 35.
Тепер перевіримо, чи є між ними пропорційність.
Знайдемо коефіцієнт подібності \(k\), розділивши більші сторони на менші:
\[ \frac{35}{21} = \frac{5 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{5}{3} \]
\[ \frac{30}{18} = \frac{5 \cdot 6}{3 \cdot 6} = \frac{5}{3} \]
\[ \frac{25}{15} = \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{3} \]
Оскільки всі співвідношення рівні \(\frac{5}{3}\), то ці трикутники подібні.
Тепер потрібно правильно розставити сторони рожевого трикутника.
Відповідні сторони повинні бути пропорційними.
Найменша сторона сірого трикутника (15) відповідає найменшій стороні рожевого трикутника (25).
Середня сторона сірого трикутника (18) відповідає середній стороні рожевого трикутника (30).
Найбільша сторона сірого трикутника (21) відповідає найбільшій стороні рожевого трикутника (35).
На зображенні рожевого трикутника:
* Найкоротша сторона (знизу) відповідає 15. Отже, там має бути 25.
* Середня сторона (зліва) відповідає 18. Отже, там має бути 30.
* Найдовша сторона (справа) відповідає 21. Отже, там має бути 35.
**Відповідь:**
* Нижня сторона рожевого трикутника: 25
* Ліва сторона рожевого трикутника: 30
* Права сторона рожевого трикутника: 35
***
Завдання 2: Перевір, чи трикутники на малюнках подібні.
Нам потрібно перевірити подібність трикутників за ознакою подібності за двома сторонами і кутом між ними (ССК). Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого трикутника, а кути між цими сторонами рівні, то такі трикутники подібні.
Випадок 1:
Перший трикутник (білий): сторони 8 і 6, кут між ними 60°.
Другий трикутник (жовтий): сторони 4 і 3, кут між ними 60°.
Кути між сторонами рівні: 60° = 60°.
Перевіримо пропорційність сторін:
\[ \frac{8}{4} = 2 \]
\[ \frac{6}{3} = 2 \]
Оскільки співвідношення відповідних сторін рівні (2) і кути між цими сторонами рівні (60°), то трикутники подібні.
**Відповідь:** Так, трикутники подібні.
Випадок 2:
Перший трикутник (білий): сторони 10 і 8, кут між ними 60°.
Другий трикутник (жовтий): сторони 8 і 9, кут між ними 60°.
Кути між сторонами рівні: 60° = 60°.
Перевіримо пропорційність сторін:
\[ \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1.25 \]
\[ \frac{8}{9} \approx 0.89 \]
Оскільки співвідношення відповідних сторін не рівні (\(\frac{10}{8} \neq \frac{8}{9}\)), то трикутники не подібні.
**Відповідь:** Ні, трикутники не подібні.
Випадок 3:
Перший трикутник (білий): сторони 16 і 12, кут між ними 45°.
Другий трикутник (жовтий): сторони 12 і 9, кут між ними 45°.
Кути між сторонами рівні: 45° = 45°.
Перевіримо пропорційність сторін:
\[ \frac{16}{12} = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3} = \frac{4}{3} \]
\[ \frac{12}{9} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} = \frac{4}{3} \]
Оскільки співвідношення відповідних сторін рівні (\(\frac{4}{3}\)) і кути між цими сторонами рівні (45°), то трикутники подібні.
**Відповідь:** Так, трикутники подібні.
***
Завдання 3: Розглянь малюнки і знайди пари подібних трикутників. Поясни свою відповідь.
Малюнок 1:
На малюнку зображено трикутник ABC, в якому проведено відрізок DE паралельно AC.
Кут A = 47°. Кут BDE = 47°.
Оскільки DE паралельно AC, то кут BDE є відповідним куту BAC при перетині паралельних прямих DE і AC січною AB. Отже, кут BDE = куту BAC = 47°.
Також кут B є спільним для обох трикутників \(\triangle ABC\) і \(\triangle DBE\).
За ознакою подібності за двома кутами (АА), якщо два кути одного трикутника рівні двом кутам іншого трикутника, то такі трикутники подібні.
У \(\triangle ABC\) і \(\triangle DBE\):
1. \(\angle B\) - спільний кут.
2. \(\angle BAC = \angle BDE = 47^\circ\) (як відповідні кути при \(DE \parallel AC\) і січній \(AB\)).
Отже, \(\triangle ABC \sim \triangle DBE\).
**Відповідь:** \(\triangle ABC\) і \(\triangle DBE\) подібні.
**Пояснення:** Вони подібні за першою ознакою подібності трикутників (за двома кутами), оскільки кут B є спільним, а кути BAC і BDE рівні як відповідні кути при паралельних прямих DE і AC та січній AB.
Малюнок 2:
На малюнку зображено паралелограм ABCD. Продовжено сторону AD до точки F, і проведено відрізок BF, який перетинає CD в точці E.
Кут A = 55°. Кут DEF = 55°.
Оскільки ABCD - паралелограм, то AB паралельно DF (або AD).
Розглянемо трикутники \(\triangle ABF\) і \(\triangle DEF\).
1. \(\angle A = \angle FDE = 55^\circ\). (Кут FDE - це той самий кут D паралелограма, але тут він позначений як кут при вершині D в трикутнику DEF. Якщо AD продовжено до F, то кут FDE є суміжним з кутом ADC. Однак, на малюнку кут DEF позначений як 55 градусів, а кут A також 55 градусів. Це вказує на те, що AB паралельно DF, і кут A та кут F є відповідними кутами при перетині паралельних прямих AB і DF січною AF. Але це не так, кут F не дорівнює куту A.
Давайте розглянемо інший підхід.
У паралелограмі ABCD, AB || CD.
Розглянемо трикутники \(\triangle ABF\) і \(\triangle EDF\).
* \(\angle FAB\) (або \(\angle A\)) = 55°.
* \(\angle FDE\) - це кут, суміжний з \(\angle ADC\). У паралелограмі \(\angle A + \angle ADC = 180^\circ\), тому \(\angle ADC = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ\). Тоді \(\angle FDE = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ\).
* Отже, \(\angle FAB = \angle FDE = 55^\circ\).
* \(\angle F\) - спільний кут для обох трикутників \(\triangle ABF\) і \(\triangle EDF\).
За ознакою подібності за двома кутами (АА), \(\triangle ABF \sim \triangle EDF\).
**Відповідь:** \(\triangle ABF\) і \(\triangle EDF\) подібні.
**Пояснення:** Вони подібні за першою ознакою подібності трикутників (за двома кутами), оскільки кут F є спільним, а кути FAB і FDE рівні (обидва 55°).
***
Завдання 4: Заповни пропуски.
Нам дано два трикутники: \(\triangle ABC\) зі сторонами AB=30, BC=25, AC=35 і \(\triangle EFD\) зі сторонами EF=20, ED=24, FD=28.
Потрібно заповнити пропуски у співвідношеннях сторін, щоб показати подібність за третьою ознакою (за трьома сторонами).
Розташуємо сторони кожного трикутника в порядку зростання:
Для \(\triangle ABC\): 25, 30, 35.
Для \(\triangle EFD\): 20, 24, 28.
Тепер знайдемо співвідношення відповідних сторін:
\[ \frac{25}{20} = \frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 4} = \frac{5}{4} \]
\[ \frac{30}{24} = \frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 4} = \frac{5}{4} \]
\[ \frac{35}{28} = \frac{7 \cdot 5}{7 \cdot 4} = \frac{5}{4} \]
Оскільки всі співвідношення рівні \(\frac{5}{4}\), то трикутники подібні.
Тепер заповнимо пропуски у виразі:
Оскільки \(\frac{AB}{EF} = \frac{30}{24} = \frac{5}{4}\),
\(\frac{BC}{ED} = \frac{25}{20} = \frac{5}{4}\),
\(\frac{AC}{FD} = \frac{35}{28} = \frac{5}{4}\).
Отже, співвідношення мають бути такими:
\[ \frac{AB}{EF} = \frac{30}{24} = \frac{5}{4} \]
\[ \frac{BC}{ED} = \frac{25}{20} = \frac{5}{4} \]
\[ \frac{AC}{FD} = \frac{35}{28} = \frac{5}{4} \]
У завданні пропонується:
Оскільки \(\frac{AB}{EF} = \frac{\boxed{30}}{\boxed{24}} = \frac{BC}{ED} = \frac{\boxed{25}}{\boxed{20}} = \frac{\boxed{AC}}{\boxed{FD}} = \frac{5}{4}\),
То, за третьою ознакою подібності, \(\triangle ABC\) подібний з \(\triangle EFD\).
**Відповідь:**
Оскільки \(\frac{AB}{EF} = \frac{30}{24} = \frac{BC}{ED} = \frac{25}{20} = \frac{AC}{FD} = \frac{5}{4}\),
То, за третьою ознакою подібності, \(\triangle ABC\) подібний з \(\triangle EFD\).
