Решение задач 1, 2, 3: Вариант 3

Вариант 3 Задание 1 Условие: Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), прямая \(a\) лежит в плоскости \(AA_1D_1D\). Какую из прямых пересекает прямая \(a\)? а) \(A_1B_1\); б) \(DD_1\); в) \(B_1C_1\); г) \(BB_1\). Решение: По условию прямая \(a\) лежит в плоскости боковой грани \(AA_1D_1D\). Прямая \(DD_1\) также лежит в этой же плоскости. Согласно рисунку, прямая \(a\) не параллельна ребру \(DD_1\), следовательно, они пересекаются в некоторой точке, так как лежат в одной плоскости. Прямые \(A_1B_1\), \(B_1C_1\) и \(BB_1\) не имеют общих плоскостей с прямой \(a\) (кроме точек на ребрах), либо являются скрещивающимися. Ответ: б) \(DD_1\). Задание 2 Условие: Дана пирамида \(SABCD\). Первая плоскость задана прямой \(BD\) и точкой \(S\), вторая — прямыми \(AC\) и \(AS\). По какой прямой пересекаются данные плоскости? а) \(AC\); б) \(SO\); в) \(SD\); г) \(AS\). Решение: 1. Первая плоскость проходит через прямую \(BD\) и вершину \(S\). Это плоскость сечения \(SBD\). 2. Вторая плоскость проходит через прямые \(AC\) и \(AS\). Это плоскость сечения \(SAC\). 3. Точка \(S\) является общей для обеих плоскостей. 4. Пусть точка \(O\) — точка пересечения диагоналей основания \(AC\) и \(BD\). Так как \(O\) лежит на \(BD\), она принадлежит первой плоскости. Так как \(O\) лежит на \(AC\), она принадлежит второй плоскости. 5. Таким образом, обе плоскости имеют две общие точки: \(S\) и \(O\). Следовательно, они пересекаются по прямой \(SO\). Ответ: б) \(SO\). Задание 3 Условие: Укажите неверное продолжение утверждения. Единственную плоскость задают: а) две параллельные прямые; б) две скрещивающиеся прямые; в) две пересекающиеся прямые; г) три точки, не лежащие на одной прямой. Решение: Согласно аксиомам и следствиям из аксиом стереометрии: - Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна (верно). - Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна (верно). - Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна (верно). - Через две скрещивающиеся прямые плоскость провести нельзя по определению скрещивающихся прямых (они не лежат в одной плоскости). Ответ: б) две скрещивающиеся прямые.