schoolМатематика
verifiedРешено AI
Решение задачи: sin α = √5/4, найти tg α, ctg α, sin 2α
help_outlineУсловие задачи
1 нарисуй рисунок куда вставлять Реши задачу: Изобрази я нк понимаю как Реши задачу: Задание 5 подробнее Реши задачу: Задание 7 подробнее
lightbulbКраткий ответ
Чтобы найти tg α, ctg α и sin 2α при заданном sin α = √5/4 во второй четверти, используем основное тригонометрическое тождество и определения тригонометрических функций. Решение включает определение знаков функций во II четверти и применение формул двойного угла.
Подробное решение
Для того чтобы подробно расписать решение задания 7 в тетради, нужно последовательно найти все неизвестные величины, опираясь на основное тригонометрическое тождество и определения функций.
Задание: Дано \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{4}\), при этом \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Найти \(tg \alpha, ctg \alpha, \sin 2\alpha\).
Решение:
1) Определим четверть и знаки функций.
Условие \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) означает, что угол \(\alpha\) находится во II четверти.
Во II четверти:
\(\sin \alpha > 0\) (положительный)
\(\cos \alpha < 0\) (отрицательный)
\(tg \alpha < 0\) (отрицательный)
\(ctg \alpha < 0\) (отрицательный)
2) Найдем \(\cos \alpha\), используя основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\):
\[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \]
\[ \cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} \]
Так как угол во II четверти, выбираем знак "минус":
\[ \cos \alpha = -\sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5}}{4}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{5}{16}} = -\sqrt{\frac{11}{16}} = -\frac{\sqrt{11}}{4} \]
3) Найдем \(tg \alpha\) по определению:
\[ tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{5}}{4} : \left(-\frac{\sqrt{11}}{4}\right) = \frac{\sqrt{5}}{4} \cdot \left(-\frac{4}{\sqrt{11}}\right) = -\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{11}} \]
Избавимся от иррациональности в знаменателе (домножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{11}\)):
\[ tg \alpha = -\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{11}}{11} = -\frac{\sqrt{55}}{11} \]
4) Найдем \(ctg \alpha\):
\[ ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha} = -\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{5}} \]
Избавимся от иррациональности (домножим на \(\sqrt{5}\)):
\[ ctg \alpha = -\frac{\sqrt{11} \cdot \sqrt{5}}{5} = -\frac{\sqrt{55}}{5} \]
5) Найдем \(\sin 2\alpha\) по формуле двойного угла:
\[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \]
Подставляем известные значения:
\[ \sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{4} \cdot \left(-\frac{\sqrt{11}}{4}\right) = -\frac{2\sqrt{55}}{16} = -\frac{\sqrt{55}}{8} \]
Ответ: \(tg \alpha = -\frac{\sqrt{55}}{11}\), \(ctg \alpha = -\frac{\sqrt{55}}{5}\), \(\sin 2\alpha = -\frac{\sqrt{55}}{8}\).