Решение задач по математике: вычисление выражений, геометрия

Задание 1. Найдите значение выражения \( 1,2x^3 - 0,7y^2 \), если \( x = 5 \), \( y = 4 \). Решение: Подставим значения переменных в выражение: \[ 1,2 \cdot 5^3 - 0,7 \cdot 4^2 \] 1) Возведем числа в степень: \[ 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 \] \[ 4^2 = 4 \cdot 4 = 16 \] 2) Выполним умножение: \[ 1,2 \cdot 125 = 150 \] \[ 0,7 \cdot 16 = 11,2 \] 3) Найдем разность: \[ 150 - 11,2 = 138,8 \] Ответ: 138,8. Задание 2. Радиус окружности равен 4,2 см. Найдите длину окружности (\( \pi \approx 3,14 \)). Решение: Длина окружности вычисляется по формуле: \[ C = 2\pi r \] Подставим значения: \[ C = 2 \cdot 3,14 \cdot 4,2 \] \[ C = 6,28 \cdot 4,2 = 26,376 \text{ см} \] Ответ: 26,376 см. Задание 3. Постройте прямоугольник, ширина которого 6 см, а длина в 2,5 раза больше. Найдите площадь и периметр. Решение: 1) Найдем длину прямоугольника (\( a \)): \[ a = 6 \cdot 2,5 = 15 \text{ см} \] 2) Найдем периметр (\( P \)): \[ P = 2 \cdot (a + b) = 2 \cdot (15 + 6) = 2 \cdot 21 = 42 \text{ см} \] 3) Найдем площадь (\( S \)): \[ S = a \cdot b = 15 \cdot 6 = 90 \text{ см}^2 \] Ответ: P = 42 см, S = 90 см². Задание 4. Длина окружности равна 12,6 м. Найдите площадь круга (\( \pi \approx 3,14 \)). Решение: 1) Из формулы длины окружности \( C = 2\pi r \) найдем радиус \( r \): \[ r = \frac{C}{2\pi} = \frac{12,6}{2 \cdot 3,14} = \frac{12,6}{6,28} \approx 2,006 \text{ м} \] Для удобства школьных расчетов обычно округляют до 2 м. 2) Найдем площадь круга по формуле \( S = \pi r^2 \): \[ S = 3,14 \cdot 2^2 = 3,14 \cdot 4 = 12,56 \text{ м}^2 \] Ответ: 12,56 м². Задание 5. Найдите периметр и площадь фигуры. (Представим Г-образную фигуру, состоящую из двух прямоугольников: нижний 10 на 4 см и верхний выступ 3 на 2 см). Решение: Для примера возьмем общую ширину основания 10 см, высоту левой стороны 6 см, высоту правой стороны 4 см и ширину верхней части 7 см. 1) Площадь (\( S \)) найдем как сумму двух прямоугольников: \[ S = (7 \cdot 6) + (3 \cdot 4) = 42 + 12 = 54 \text{ см}^2 \] 2) Периметр (\( P \)) — сумма длин всех сторон: \[ P = 10 + 6 + 7 + 2 + 3 + 4 = 32 \text{ см} \] Ответ: S = 54 см², P = 32 см.