Решение задачи 14: Прямоугольный параллелепипед векторным методом

Задача №14. Дано: \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямоугольный параллелепипед. \(AD = 2\), \(AA_1 = 4\), \(AB = 2\sqrt{15}\). \(M\) — середина \(C_1D_1\), \(N \in AA_1\), \(AN = 3\). Решение: Введем прямоугольную систему координат с началом в точке \(B(0; 0; 0)\). Ось \(x\) направим вдоль \(BA\), ось \(y\) — вдоль \(BC\), ось \(z\) — вдоль \(BB_1\). Координаты вершин: \(B(0; 0; 0)\) \(A(2\sqrt{15}; 0; 0)\) \(C(0; 2; 0)\) \(D(2\sqrt{15}; 2; 0)\) \(B_1(0; 0; 4)\) \(A_1(2\sqrt{15}; 0; 4)\) \(C_1(0; 2; 4)\) \(D_1(2\sqrt{15}; 2; 4)\) Найдем координаты точек \(M\) и \(N\): Точка \(M\) — середина \(C_1D_1\): \[x_M = \frac{0 + 2\sqrt{15}}{2} = \sqrt{15}, \quad y_M = \frac{2 + 2}{2} = 2, \quad z_M = \frac{4 + 4}{2} = 4\] \(M(\sqrt{15}; 2; 4)\) Точка \(N\) лежит на \(AA_1\), \(AN = 3\). Так как \(A(2\sqrt{15}; 0; 0)\), то: \(N(2\sqrt{15}; 0; 3)\) а) Докажем, что \(MN \perp CB_1\). Найдем координаты векторов \(\vec{MN}\) и \(\vec{CB_1}\): \[\vec{MN} = (2\sqrt{15} - \sqrt{15}; 0 - 2; 3 - 4) = (\sqrt{15}; -2; -1)\] \[\vec{CB_1} = (0 - 0; 0 - 2; 4 - 0) = (0; -2; 4)\] Вычислим скалярное произведение векторов: \[\vec{MN} \cdot \vec{CB_1} = \sqrt{15} \cdot 0 + (-2) \cdot (-2) + (-1) \cdot 4 = 0 + 4 - 4 = 0\] Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, следовательно, \(MN \perp CB_1\). Что и требовалось доказать. б) Найдем угол между прямой \(MN\) и плоскостью \(BB_1C_1C\). Плоскость \(BB_1C_1C\) совпадает с координатной плоскостью \(yz\). Уравнение этой плоскости: \(x = 0\). Нормальный вектор к этой плоскости: \(\vec{n} = (1; 0; 0)\). Пусть \(\alpha\) — искомый угол. Синус угла между прямой и плоскостью вычисляется по формуле: \[\sin \alpha = \frac{|\vec{MN} \cdot \vec{n}|}{|\vec{MN}| \cdot |\vec{n}|}\] Найдем длины векторов: \[|\vec{MN}| = \sqrt{(\sqrt{15})^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{15 + 4 + 1} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\] \[|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1\] Скалярное произведение: \[\vec{MN} \cdot \vec{n} = \sqrt{15} \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + (-1) \cdot 0 = \sqrt{15}\] Вычисляем синус: \[\sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{5} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\] Следовательно: \[\alpha = \arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 60^\circ\] Ответ: \(60^\circ\).