Решение задачи 14 векторно: Угол между прямой и плоскостью (матрица)

Для решения пункта б) с использованием векторного метода и аналитической геометрии, мы можем воспользоваться определением угла через нормаль к плоскости. б) Найдем угол между прямой \(MN\) и плоскостью грани \(BB_1C_1C\). 1. Координаты вектора прямой \(MN\): \[\vec{MN} = (\sqrt{15}; -2; -1)\] 2. Уравнение плоскости \(BB_1C_1C\). Эта плоскость проходит через точки \(B(0;0;0)\), \(B_1(0;0;4)\) и \(C(0;2;0)\). Общее уравнение плоскости имеет вид \(Ax + By + Cz + D = 0\). Составим определитель (матрицу) для уравнения плоскости, проходящей через три точки: \[\begin{vmatrix} x - x_B & y - y_B & z - z_B \\ x_{B_1} - x_B & y_{B_1} - y_B & z_{B_1} - z_B \\ x_C - x_B & y_C - y_B & z_C - z_B \end{vmatrix} = 0\] Подставим координаты: \[\begin{vmatrix} x - 0 & y - 0 & z - 0 \\ 0 - 0 & 0 - 0 & 4 - 0 \\ 0 - 0 & 2 - 0 & 0 - 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & y & z \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0\] Раскроем определитель по первой строке: \[x \cdot (0 \cdot 0 - 4 \cdot 2) - y \cdot (0 \cdot 0 - 4 \cdot 0) + z \cdot (0 \cdot 2 - 0 \cdot 0) = 0\] \[-8x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0\] 3. Вектор нормали к плоскости \(\vec{n}\) определяется коэффициентами уравнения \(Ax + By + Cz + D = 0\): \[\vec{n} = (1; 0; 0)\] 4. Угол \(\alpha\) между прямой с направляющим вектором \(\vec{s}\) и плоскостью с нормалью \(\vec{n}\) находится по формуле: \[\sin \alpha = \frac{|\vec{MN} \cdot \vec{n}|}{|\vec{MN}| \cdot |\vec{n}|}\] Вычислим значения: \[|\vec{MN}| = \sqrt{(\sqrt{15})^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{15 + 4 + 1} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\] \[|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1\] \[\vec{MN} \cdot \vec{n} = \sqrt{15} \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + (-1) \cdot 0 = \sqrt{15}\] Подставим в формулу: \[\sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{5} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\] Следовательно: \[\alpha = 60^\circ\] Ответ: \(60^\circ\).