Решение задач №145(г) и №146(а)

Ниже представлено решение выбранных заданий из учебника, оформленное для записи в тетрадь. Задание №145 (г) Решим тригонометрическое уравнение: \[ \sin \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} \right) + 1 = 0 \] 1. Перенесем единицу в правую часть уравнения: \[ \sin \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} \right) = -1 \] 2. Это частный случай для синуса. Аргумент должен быть равен \( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \): \[ \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] 3. Перенесем \( -\frac{\pi}{6} \) в правую часть: \[ \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n \] \[ \frac{x}{2} = -\frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n \] \[ \frac{x}{2} = -\frac{2\pi}{6} + 2\pi n \] \[ \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \] 4. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы найти \( x \): \[ x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \). Задание №146 (а) Решим тригонометрическое уравнение: \[ \cos \left( \frac{\pi}{6} - 2x \right) = -1 \] 1. Используем свойство четности косинуса \( \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) \), чтобы упростить выражение в скобках (поменяем знаки): \[ \cos \left( 2x - \frac{\pi}{6} \right) = -1 \] 2. Это частный случай для косинуса. Аргумент должен быть равен \( \pi + 2\pi k \): \[ 2x - \frac{\pi}{6} = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] 3. Перенесем \( -\frac{\pi}{6} \) в правую часть: \[ 2x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi k \] \[ 2x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \] 4. Разделим обе части уравнения на 2: \[ x = \frac{7\pi}{12} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] Ответ: \( x = \frac{7\pi}{12} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \).