Доказательство, что ABCD - трапеция (решение задачи)

Дано: Четырехугольник ABCD; AC и BD пересекаются в точке O; AO = 18 см, OB = 15 см, OC = 12 см, OD = 10 см. Доказать: ABCD — трапеция. Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники AOB и COD. В них углы AOB и COD равны как вертикальные: \[ \angle AOB = \angle COD \] 2. Проверим пропорциональность сторон, образующих эти углы в треугольниках AOB и COD: \[ \frac{AO}{OC} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1,5 \] \[ \frac{OB}{OD} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} = 1,5 \] Следовательно: \[ \frac{AO}{OC} = \frac{OB}{OD} \] 3. Так как две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники AOB и COD подобны по второму признаку подобия: \[ \triangle AOB \sim \triangle COD \] 4. Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов: \[ \angle OAB = \angle OCD \] Эти углы являются накрест лежащими при пересечении прямых AB и CD секущей AC. 5. По признаку параллельности прямых, если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны: \[ AB \parallel CD \] 6. Так как в четырехугольнике ABCD две противоположные стороны параллельны (AB || CD), а две другие (AD и BC) не параллельны (так как отношение сторон \( \frac{AO}{OC} \) не равно отношению сторон для другой пары треугольников в общем случае произвольного четырехугольника, и точки пересечения делят диагонали в одном отношении), то ABCD является трапецией по определению. Что и требовалось доказать.