Доказать, что ABCD - трапеция. Решение с объяснением

Дано: Четырехугольник ABCD; AC и BD — диагонали, пересекаются в точке O; AO = 18 см, OB = 15 см, OC = 12 см, OD = 10 см. Доказать: ABCD — трапеция. Чертеж: Для построения в тетради начертите две пересекающиеся линии (диагонали). От точки пересечения O отложите отрезки: вверх-влево OA = 18 см, вниз-вправо OC = 12 см. Затем вверх-вправо OB = 15 см и вниз-влево OD = 10 см. Соедините точки A, B, C и D. (В тетради можно использовать масштаб 1:2, то есть 9 см, 7.5 см, 6 см и 5 см соответственно). Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники AOB и COD. В этих треугольниках углы при вершине O равны как вертикальные: \[ \angle AOB = \angle COD \] 2. Найдем отношения соответствующих сторон этих треугольников: \[ \frac{AO}{OC} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1,5 \] \[ \frac{OB}{OD} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} = 1,5 \] Таким образом: \[ \frac{AO}{OC} = \frac{OB}{OD} \] 3. Так как две стороны треугольника AOB пропорциональны двум сторонам треугольника COD и углы между ними равны, то эти треугольники подобны по второму признаку подобия треугольников: \[ \triangle AOB \sim \triangle COD \] 4. Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов: \[ \angle OAB = \angle OCD \] Эти углы являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей AC. 5. Согласно признаку параллельности прямых, если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны: \[ AB \parallel CD \] 6. Определение трапеции гласит, что это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. В данном случае основаниями являются AB и CD. Что и требовалось доказать.