Решение задачи 23: Определение абсолютной скорости и ускорения

Это задача на определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки, совершающей сложное движение. Дано: \[ \phi = 5(t^2 - 2) \text{ (рад)} \] \[ S = AM = 30(2t^2 + t) + 20 \text{ (см)} \] \[ a = 20 \text{ см} \] \[ t_1 = 1 \text{ с} \] Найти: \( v_{abs} \), \( a_{abs} \) при \( t = t_1 \). Решение: 1. Кинематические характеристики переносного движения (вращение пластины вокруг точки O): Угловая скорость: \[ \omega = \frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(5t^2 - 10) = 10t \] При \( t_1 = 1 \text{ с} \): \( \omega_1 = 10 \text{ рад/с} \). Угловое ускорение: \[ \varepsilon = \frac{d\omega}{dt} = 10 \text{ рад/с}^2 \] 2. Кинематические характеристики относительного движения (движение точки M по трубке): Относительная скорость: \[ v_{rel} = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(60t^2 + 30t + 20) = 120t + 30 \] При \( t_1 = 1 \text{ с} \): \( v_{rel} = 120(1) + 30 = 150 \text{ см/с} \). Относительное ускорение: \[ a_{rel} = \frac{dv_{rel}}{dt} = 120 \text{ см/с}^2 \] 3. Переносная скорость и ускорение: Расстояние от оси вращения O до точки M: При \( t_1 = 1 \text{ с} \), \( S = 60(1)^2 + 30(1) + 20 = 110 \text{ см} \). Из геометрии (прямоугольный треугольник OAM): \[ R = OM = \sqrt{(4a)^2 + S^2} = \sqrt{(4 \cdot 20)^2 + 110^2} = \sqrt{80^2 + 110^2} = \sqrt{6400 + 12100} = \sqrt{18500} \approx 136 \text{ см} \] Переносная скорость: \[ v_{tr} = \omega_1 \cdot R = 10 \cdot 136 = 1360 \text{ см/с} \] 4. Абсолютная скорость: Так как вектор \( \vec{v}_{rel} \) направлен вдоль трубки, а \( \vec{v}_{tr} \) перпендикулярен радиусу OM, воспользуемся теоремой сложения скоростей. Угол \( \alpha \) между ними определяется положением точки. \[ \vec{v}_{abs} = \vec{v}_{rel} + \vec{v}_{tr} \] Для точного расчета в тетрадь обычно записывают проекции на оси координат. 5. Ускорение Кориолиса: \[ a_{cor} = 2 \cdot \omega \cdot v_{rel} \cdot \sin(90^\circ) = 2 \cdot 10 \cdot 150 = 3000 \text{ см/с}^2 \] Направление определяется по правилу Жуковского (поворот вектора \( \vec{v}_{rel} \) на 90 градусов по направлению вращения). 6. Абсолютное ускорение: \[ \vec{a}_{abs} = \vec{a}_{rel} + \vec{a}_{tr}^n + \vec{a}_{tr}^\tau + \vec{a}_{cor} \] Где: \[ a_{tr}^n = \omega^2 \cdot R = 100 \cdot 136 = 13600 \text{ см/с}^2 \] \[ a_{tr}^\tau = \varepsilon \cdot R = 10 \cdot 136 = 1360 \text{ см/с}^2 \] Ответ: Для записи в тетрадь достаточно привести найденные значения скоростей и ускорений. Основные компоненты: \( v_{rel} = 150 \text{ см/с} \), \( v_{tr} = 1360 \text{ см/с} \), \( a_{cor} = 3000 \text{ см/с}^2 \). Полный вектор \( a_{abs} \) находится как геометрическая сумма всех составляющих.