Решение задачи 23: Динамическое уравновешивание

Для решения задачи №23 из раздела «Динамическое уравновешивание» (варианты 21–30) нам необходимо найти значение координаты \( x \) для точечной массы \( m_d \), при котором система будет динамически уравновешена. Поскольку конкретный номер варианта не указан, я разберу общий алгоритм решения на основе расчетной схемы №23 и данных из таблицы. Для примера возьмем структуру формул, которую вы сможете применить к своим числам. Задача: Динамическое уравновешивание вала. Цель: Найти расстояние \( x \) для точечной массы \( m_d \). Решение: 1. Условие динамической уравновешенности системы: Для того чтобы вращающийся вал был динамически уравновешен, необходимо выполнение двух условий: - Сумма векторов центробежных сил инерции равна нулю: \( \sum \vec{F}_{in} = 0 \). - Сумма моментов центробежных сил инерции относительно любой точки на оси равна нулю: \( \sum \vec{M}_{in} = 0 \). 2. Определение центробежных сил инерции: Центробежная сила инерции для каждого тела вычисляется по формуле: \[ F_{in} = m \cdot r \cdot \omega^2 \] где \( m \) — масса тела, \( r \) — расстояние от центра масс тела до оси вращения, \( \omega \) — угловая скорость. 3. Определение плеч (эксцентриситетов) для схемы №23: - Для левой пластины (масса \( m_1 \)): центр масс находится посередине её ширины \( 2l \), то есть плечо \( r_1 = l \). - Для точечной массы \( m_d \): плечо задано как \( x \). - Для правой пластины (масса \( m_3 \)): центр масс находится посередине её высоты \( d \), то есть плечо \( r_3 = \frac{d}{2} \). 4. Составление уравнения моментов: Выберем точку на оси (например, левую опору) и составим уравнение моментов сил инерции. Чтобы вал не «бил» в подшипниках, моменты, создаваемые массами с разных сторон, должны компенсировать друг друга. Согласно схеме, массы расположены в разных плоскостях. Уравнение проекций моментов на ось, перпендикулярную валу: \[ m_1 \cdot r_1 \cdot L_1 + m_d \cdot x \cdot L_2 - m_3 \cdot r_3 \cdot L_3 = 0 \] где \( L_i \) — расстояния вдоль вала от опоры до плоскости вращения масс. 5. Расчет для схемы №23: Из чертежа видно расстояния вдоль вала: - От левой опоры до \( m_1 \): \( 2l \) - От левой опоры до \( m_d \): \( 2l + 2l = 4l \) - От левой опоры до \( m_3 \): \( 2l + 2l + 4l = 8l \) Подставляем значения плеч \( r_i \): \[ m_1 \cdot l \cdot (2l) + m_d \cdot x \cdot (4l) - m_3 \cdot \frac{d}{2} \cdot (8l) = 0 \] 6. Вывод формулы для \( x \): Сократим уравнение на \( 2l \): \[ m_1 \cdot l + 2 \cdot m_d \cdot x - 4 \cdot m_3 \cdot \frac{d}{2} = 0 \] \[ m_1 \cdot l + 2 \cdot m_d \cdot x - 2 \cdot m_3 \cdot d = 0 \] Отсюда искомое расстояние \( x \): \[ x = \frac{2 \cdot m_3 \cdot d - m_1 \cdot l}{2 \cdot m_d} \] Для завершения задачи в тетради: 1. Выпишите значения \( m_1, m_3, m_d, l, d \) из вашего варианта в таблице. 2. Подставьте их в итоговую формулу. 3. Вычислите значение \( x \) в сантиметрах. Пример (для варианта 1, если бы он был в группе 21-30): Если \( m_1=8, m_3=11, m_d=10, l=90, d=40 \): \[ x = \frac{2 \cdot 11 \cdot 40 - 8 \cdot 90}{2 \cdot 10} = \frac{880 - 720}{20} = \frac{160}{20} = 8 \text{ см} \]