help_outlineУсловие задачи
238 Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая команда первой будет владеть мячом. Найдите вероятность того, что в трёх матчах, которые команда «Стартёр» проводит с другими командами, мяч каждый раз будет доставаться именно этой команде.
239 Случайный эксперимент заключается в пятикратном бросании симметричной монеты. Найдите вероятность события:
a) «решка выпадет ровно 3 раза»;
б) «орёл выпадет от двух до четырёх раз»;
b) «решка выпадет либо 1 раз, либо 3 раза»;
г) «орёл выпадет нечётное число раз». Реши задачи по формуле испытания Бернулли напиши дано решение найти ответ p,q,n, используй в дано
lightbulbКраткий ответ
Вероятность того, что команда «Стартёр» выиграет жребий в трех матчах подряд, равна 0,125. Для задачи 239 требуется уточнение вопроса.
Ниже представлено решение задач в виде, удобном для переписывания в школьную тетрадь.
Задача №238
Дано:
\(n = 3\) (количество матчей)
\(k = 3\) (количество успехов — мяч достается команде)
\(p = 0,5\) (вероятность выигрыша жребия в одном матче)
\(q = 1 - p = 0,5\) (вероятность проигрыша жребия)
Найти:
\(P_n(k) = ?\)
Решение:
Для решения воспользуемся формулой Бернулли:
\[P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\]
Где число сочетаний \(C_n^k\) вычисляется по формуле:
\[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]
Подставим значения:
\[C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3! \cdot 0!} = \frac{1}{1} = 1\]
(Напомним, что \(0! = 1\))
Вычислим вероятность:
\[P_3(3) = 1 \cdot (0,5)^3 \cdot (0,5)^{3-3} = 1 \cdot 0,125 \cdot (0,5)^0 = 0,125\]
Ответ: 0,125.
Задача №239
Дано:
\(n = 5\) (количество бросков монеты)
\(p = 0,5\) (вероятность выпадения орла или решки)
\(q = 0,5\) (вероятность противоположного события)
Найти:
а) \(P_5(3)\)
б) \(P(2 \le k \le 4)\)
в) \(P(k=1 \text{ или } k=3)\)
г) \(P(k \text{ — нечетное})\)
Решение:
Общая формула Бернулли: \(P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\). Так как \(p = q = 0,5\), формула упрощается:
\[P_5(k) = C_5^k \cdot (0,5)^5 = C_5^k \cdot \frac{1}{32}\]
а) Ровно 3 раза решка (\(k=3\)):
\[C_5^3 = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10\]
\[P_5(3) = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = 0,3125\]
б) Орёл от 2 до 4 раз (\(k=2, 3, 4\)):
Нужно сложить вероятности для каждого случая:
\[C_5^2 = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = 10\]
\[C_5^4 = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = 5\]
\[P = P_5(2) + P_5(3) + P_5(4) = (10 + 10 + 5) \cdot \frac{1}{32} = \frac{25}{32} = 0,78125\]
в) Решка 1 или 3 раза (\(k=1, 3\)):
\[C_5^1 = \frac{5!}{1! \cdot 4!} = 5\]
\[P = P_5(1) + P_5(3) = (5 + 10) \cdot \frac{1}{32} = \frac{15}{32} = 0,46875\]
г) Орёл нечетное число раз (\(k=1, 3, 5\)):
\[C_5^5 = \frac{5!}{5! \cdot 0!} = 1\]
\[P = P_5(1) + P_5(3) + P_5(5) = (5 + 10 + 1) \cdot \frac{1}{32} = \frac{16}{32} = 0,5\]
Ответ: а) 0,3125; б) 0,78125; в) 0,46875; г) 0,5.
