Решение неравенства √24-10x < 3-4x

Решение неравенства: \[ \sqrt{24 - 10x} < 3 - 4x \] Для решения данного иррационального неравенства необходимо составить систему условий. Корень определен только при неотрицательном подкоренном выражении. Так как корень меньше некоторого выражения, то это выражение обязательно должно быть строго больше нуля. При соблюдении этих условий мы можем возвести обе части в квадрат. Система условий: \[ \begin{cases} 24 - 10x \geq 0 \\ 3 - 4x > 0 \\ 24 - 10x < (3 - 4x)^2 \end{cases} \] Решим каждое неравенство по отдельности: 1) \( 24 - 10x \geq 0 \) \[ -10x \geq -24 \] \[ x \leq 2,4 \] 2) \( 3 - 4x > 0 \) \[ -4x > -3 \] \[ x < 0,75 \] 3) \( 24 - 10x < (3 - 4x)^2 \) Раскроем скобки по формуле квадрата разности: \[ 24 - 10x < 9 - 24x + 16x^2 \] Перенесем все слагаемые в одну сторону: \[ 16x^2 - 14x - 15 > 0 \] Найдем корни уравнения \( 16x^2 - 14x - 15 = 0 \): \[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-15) = 196 + 960 = 1156 = 34^2 \] \[ x_1 = \frac{14 + 34}{32} = \frac{48}{32} = 1,5 \] \[ x_2 = \frac{14 - 34}{32} = -\frac{20}{32} = -0,625 \] Решением неравенства \( 16x^2 - 14x - 15 > 0 \) являются интервалы: \[ x < -0,625 \text{ или } x > 1,5 \] Теперь найдем пересечение всех условий: 1) \( x \leq 2,4 \) 2) \( x < 0,75 \) 3) \( x \in (-\infty; -0,625) \cup (1,5; +\infty) \) Пересечением первых двух условий является \( x < 0,75 \). С учетом третьего условия (интервал \( x > 1,5 \) не подходит, так как он больше 0,75), получаем: \[ x < -0,625 \] Ответ: \( x \in (-\infty; -0,625) \)