Решение задачи 3 (Вариант 22)

Решение задачи №3 (Вариант 22) Дано: \[ d_1 = 5 \text{ мм}, d_2 = 5 \text{ мм}, d_3 = 10 \text{ мм} \] \[ \varepsilon_1 = 60, \varepsilon_2 = 100, \varepsilon_3 = 120 \] \[ E_{пр1} = 30 \text{ кВ/мм}, E_{пр2} = 15 \text{ кВ/мм}, E_{пр3} = 15 \text{ кВ/мм} \] \[ U = 260 \text{ кВ} \] Решение: 1. При переменном напряжении распределение падений напряжения по слоям обратно пропорционально их емкостям. Так как площадь \( S \) слоев одинакова, определим относительные емкости слоев через отношение \( \frac{\varepsilon}{d} \): \[ C'_1 = \frac{\varepsilon_1}{d_1} = \frac{60}{5} = 12 \] \[ C'_2 = \frac{\varepsilon_2}{d_2} = \frac{100}{5} = 20 \] \[ C'_3 = \frac{\varepsilon_3}{d_3} = \frac{120}{10} = 12 \] 2. Найдем соотношение емкостей: \[ C'_1 : C'_2 : C'_3 = 12 : 20 : 12 = 3 : 5 : 3 \] 3. Напряжения на слоях распределяются обратно пропорционально емкостям: \[ U_1 : U_2 : U_3 = \frac{1}{3} : \frac{1}{5} : \frac{1}{3} \] Приведем к общему знаменателю 15: \[ U_1 : U_2 : U_3 = 5 : 3 : 5 \] 4. Сумма частей распределения: \( 5 + 3 + 5 = 13 \). Найдем падение напряжения на каждом слое при общем напряжении \( U = 260 \text{ кВ} \): \[ U_1 = \frac{260}{13} \cdot 5 = 100 \text{ кВ} \] \[ U_2 = \frac{260}{13} \cdot 3 = 60 \text{ кВ} \] \[ U_3 = \frac{260}{13} \cdot 5 = 100 \text{ кВ} \] 5. Рассчитаем действующую напряженность электрического поля в каждом слое: \[ E_1 = \frac{U_1}{d_1} = \frac{100}{5} = 20 \text{ кВ/мм} \] \[ E_2 = \frac{U_2}{d_2} = \frac{60}{5} = 12 \text{ кВ/мм} \] \[ E_3 = \frac{U_3}{d_3} = \frac{100}{10} = 10 \text{ кВ/мм} \] 6. Сравним полученные значения с электрической прочностью слоев \( E_{пр} \): \[ E_1 = 20 < E_{пр1} = 30 \text{ (запас прочности)} \] \[ E_2 = 12 < E_{пр2} = 15 \text{ (запас прочности)} \] \[ E_3 = 10 < E_{пр3} = 15 \text{ (запас прочности)} \] Вывод: Так как напряженность поля в каждом из слоев диэлектрика меньше его электрической прочности, данная изоляция выдержит кратковременное повышение напряжения до 260 кВ. 7. Определим коэффициент запаса для самого нагруженного слоя: \[ k_1 = \frac{E_{пр1}}{E_1} = \frac{30}{20} = 1,5 \] \[ k_2 = \frac{E_{пр2}}{E_2} = \frac{15}{12} = 1,25 \] \[ k_3 = \frac{E_{пр3}}{E_3} = \frac{15}{10} = 1,5 \] Наименьший запас прочности во втором слое. Пробой начнется при напряжении: \[ U_{пр} = U \cdot k_{min} = 260 \cdot 1,25 = 325 \text{ кВ} \] Ответ: Да, изоляция выдержит повышение напряжения до 260 кВ.