Решение уравнения 4x/(4x²-8x+7) + 3x/(4x²-10x+7) = 1

Дано уравнение: \[ \frac{4x}{4x^2 - 8x + 7} + \frac{3x}{4x^2 - 10x + 7} = 1 \] Решение: 1. Заметим, что \( x = 0 \) не является корнем уравнения, так как при подстановке левая часть равна 0, а правая 1. Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на \( x \): \[ \frac{4}{4x - 8 + \frac{7}{x}} + \frac{3}{4x - 10 + \frac{7}{x}} = 1 \] 2. Сгруппируем слагаемые в знаменателях: \[ \frac{4}{(4x + \frac{7}{x}) - 8} + \frac{3}{(4x + \frac{7}{x}) - 10} = 1 \] 3. Введем замену переменной. Пусть \( t = 4x + \frac{7}{x} \). Тогда уравнение примет вид: \[ \frac{4}{t - 8} + \frac{3}{t - 10} = 1 \] 4. Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{4(t - 10) + 3(t - 8)}{(t - 8)(t - 10)} = 1 \] \[ \frac{4t - 40 + 3t - 24}{t^2 - 10t - 8t + 80} = 1 \] \[ \frac{7t - 64}{t^2 - 18t + 80} = 1 \] 5. Перейдем к квадратному уравнению (при условии, что знаменатель не равен 0): \[ 7t - 64 = t^2 - 18t + 80 \] \[ t^2 - 25t + 144 = 0 \] 6. Найдем корни через дискриминант: \[ D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49 \] \[ t_1 = \frac{25 + 7}{2} = 16 \] \[ t_2 = \frac{25 - 7}{2} = 9 \] 7. Вернемся к обратной замене: Случай 1: \( 4x + \frac{7}{x} = 16 \) \[ 4x^2 - 16x + 7 = 0 \] \[ D = (-16)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 256 - 112 = 144 \] \[ x_1 = \frac{16 + 12}{8} = \frac{28}{8} = 3.5 \] \[ x_2 = \frac{16 - 12}{8} = \frac{4}{8} = 0.5 \] Случай 2: \( 4x + \frac{7}{x} = 9 \) \[ 4x^2 - 9x + 7 = 0 \] \[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 81 - 112 = -31 \] Так как \( D < 0 \), в этом случае действительных корней нет. Ответ: \( 0.5; 3.5 \)