Решение уравнения: 4x/(4x²-8x+7) + 3x/(4x²-10x+7) = 1

Решим уравнение методом избавления от знаменателей. \[ \frac{4x}{4x^2 - 8x + 7} + \frac{3x}{4x^2 - 10x + 7} = 1 \] 1. Перенесем все слагаемые в левую часть: \[ \frac{4x}{4x^2 - 8x + 7} + \frac{3x}{4x^2 - 10x + 7} - 1 = 0 \] 2. Приведем дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение знаменателей: \( (4x^2 - 8x + 7)(4x^2 - 10x + 7) \). \[ \frac{4x(4x^2 - 10x + 7) + 3x(4x^2 - 8x + 7) - (4x^2 - 8x + 7)(4x^2 - 10x + 7)}{(4x^2 - 8x + 7)(4x^2 - 10x + 7)} = 0 \] 3. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Рассмотрим числитель: \[ 4x(4x^2 - 10x + 7) + 3x(4x^2 - 8x + 7) - (4x^2 - 8x + 7)(4x^2 - 10x + 7) = 0 \] 4. Раскроем скобки в первых двух слагаемых: \[ 16x^3 - 40x^2 + 28x + 12x^3 - 24x^2 + 21x - (4x^2 - 8x + 7)(4x^2 - 10x + 7) = 0 \] \[ 28x^3 - 64x^2 + 49x - (4x^2 - 8x + 7)(4x^2 - 10x + 7) = 0 \] 5. Чтобы упростить умножение скобок, заметим общую часть \( A = 4x^2 + 7 \). Тогда выражение примет вид: \[ 28x^3 - 64x^2 + 49x - (A - 8x)(A - 10x) = 0 \] \[ 28x^3 - 64x^2 + 49x - (A^2 - 18Ax + 80x^2) = 0 \] 6. Подставим \( A = 4x^2 + 7 \) обратно: \[ 28x^3 - 64x^2 + 49x - ((4x^2 + 7)^2 - 18x(4x^2 + 7) + 80x^2) = 0 \] \[ 28x^3 - 64x^2 + 49x - (16x^4 + 56x^2 + 49 - 72x^3 - 126x + 80x^2) = 0 \] \[ 28x^3 - 64x^2 + 49x - (16x^4 - 72x^3 + 136x^2 - 126x + 49) = 0 \] 7. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \[ 28x^3 - 64x^2 + 49x - 16x^4 + 72x^3 - 136x^2 + 126x - 49 = 0 \] \[ -16x^4 + 100x^3 - 200x^2 + 175x - 49 = 0 \] Умножим на -1: \[ 16x^4 - 100x^3 + 200x^2 - 175x + 49 = 0 \] 8. Это уравнение четвертой степени. Проверим рациональные корни. Заметим, что при \( x = 0.5 \): \[ 16(0.0625) - 100(0.125) + 200(0.25) - 175(0.5) + 49 = 1 - 12.5 + 50 - 87.5 + 49 = 0 \] Значит, \( x = 0.5 \) — корень. Разделив многочлен на \( (x - 0.5) \) или \( (2x - 1) \), и продолжая поиск, найдем второй корень \( x = 3.5 \). 9. При \( x = 0.5 \) и \( x = 3.5 \) знаменатели исходного уравнения не обращаются в нуль. Ответ: \( 0.5; 3.5 \)