Решение задач 6-21

Ниже представлено подробное решение задач с 6 по 21. Все решения оформлены так, чтобы их было удобно переписать в школьную тетрадь. 6. Решение: \[ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^3 - (1+3x)}{x^2 + x^5} \] Раскроем куб суммы в числителе: \( (1+x)^3 = 1 + 3x + 3x^2 + x^3 \). \[ \lim_{x \to 0} \frac{1 + 3x + 3x^2 + x^3 - 1 - 3x}{x^2 + x^5} = \lim_{x \to 0} \frac{3x^2 + x^3}{x^2 + x^5} \] Вынесем \( x^2 \) за скобки и сократим: \[ \lim_{x \to 0} \frac{x^2(3 + x)}{x^2(1 + x^3)} = \lim_{x \to 0} \frac{3 + x}{1 + x^3} = \frac{3 + 0}{1 + 0} = 3 \] Ответ: 3. 7. Решение: \[ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^2 - (1+2x)}{x^3 + 3x^2} \] Раскроем квадрат в числителе: \( (1+x)^2 = 1 + 2x + x^2 \). \[ \lim_{x \to 0} \frac{1 + 2x + x^2 - 1 - 2x}{x^3 + 3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2(x + 3)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{3} \] Ответ: \( \frac{1}{3} \). 8. Решение: \[ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 3x}{x^2 - 9} \] Разложим на множители: \[ \lim_{x \to 3} \frac{x(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x}{x + 3} = \frac{3}{3 + 3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] Ответ: 0,5. 9. Решение: \[ \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{2x^2 - 3x - 2} \] Разложим числитель как разность кубов, а знаменатель через дискриминант: \[ \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{2(x - 2)(x + 0,5)} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x + 4}{2x + 1} = \frac{4 + 4 + 4}{4 + 1} = \frac{12}{5} = 2,4 \] Ответ: 2,4. 10. Решение: \[ \lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{2x^2 + 4x - 6} \] \[ \lim_{x \to -3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{2(x + 3)(x - 1)} = \lim_{x \to -3} \frac{x - 3}{2(x - 1)} = \frac{-3 - 3}{2(-3 - 1)} = \frac{-6}{-8} = \frac{3}{4} = 0,75 \] Ответ: 0,75. 11. Решение: \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - x} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)^2}{x(x - 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x} = \frac{1 - 1}{1} = 0 \] Ответ: 0. 12. Решение: \[ \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x^2 - 3x - 4} \] Разложим знаменатель: \( x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1) \). Заметим, что \( x - 4 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) \). \[ \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)(x + 1)} = \lim_{x \to 4} \frac{1}{(\sqrt{x} + 2)(x + 1)} = \frac{1}{(2 + 2)(4 + 1)} = \frac{1}{20} = 0,05 \] Ответ: 0,05. 13. Решение: \[ \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + 2x}{\sqrt{9 - x} - 3} \] Умножим числитель и знаменатель на сопряженное \( \sqrt{9 - x} + 3 \): \[ \lim_{x \to 0} \frac{x(x + 2)(\sqrt{9 - x} + 3)}{(9 - x) - 9} = \lim_{x \to 0} \frac{x(x + 2)(\sqrt{9 - x} + 3)}{-x} = \lim_{x \to 0} -(x + 2)(\sqrt{9 - x} + 3) \] \[ = -(0 + 2)(\sqrt{9} + 3) = -2 \cdot 6 = -12 \] Ответ: -12. 14. Решение: \[ \lim_{x \to -1} \frac{\sqrt[3]{x^2} + 2x}{x^3 - 1} \] Подставим \( x = -1 \): \[ \frac{\sqrt[3]{(-1)^2} + 2(-1)}{(-1)^3 - 1} = \frac{1 - 2}{-1 - 1} = \frac{-1}{-2} = 0,5 \] Ответ: 0,5. 15. Решение: \[ \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x+12} - 2\sqrt{x}}{x^2 - 16} \] Умножим на сопряженное числителя: \[ \lim_{x \to 4} \frac{(x + 12) - 4x}{(x - 4)(x + 4)(\sqrt{x+12} + 2\sqrt{x})} = \lim_{x \to 4} \frac{-3x + 12}{(x - 4)(x + 4)(\sqrt{x+12} + 2\sqrt{x})} \] \[ = \lim_{x \to 4} \frac{-3(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)(\sqrt{x+12} + 2\sqrt{x})} = \frac{-3}{(4 + 4)(\sqrt{16} + 2\sqrt{4})} = \frac{-3}{8 \cdot (4 + 4)} = -\frac{3}{64} \] Ответ: \( -\frac{3}{64} \). 16. Решение: \[ \lim_{x \to 10} \frac{3x - 16}{\sqrt{x - 9} + 1} = \frac{30 - 16}{\sqrt{10 - 9} + 1} = \frac{14}{1 + 1} = 7 \] Ответ: 7. 17. Решение: \[ \lim_{x \to 8} \frac{x^2 - 64}{\sqrt[3]{x} - 2} \] Используем формулу \( a - b = (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}) \): \[ \lim_{x \to 8} \frac{(x - 8)(x + 8)}{\sqrt[3]{x} - 2} = \lim_{x \to 8} \frac{(\sqrt[3]{x} - 2)(\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4)(x + 8)}{\sqrt[3]{x} - 2} \] \[ = (\sqrt[3]{64} + 2\sqrt[3]{8} + 4)(8 + 8) = (4 + 4 + 4) \cdot 16 = 12 \cdot 16 = 192 \] Ответ: 192. 18. Решение: \[ \lim_{x \to -2} \frac{2 + \sqrt[3]{x - 6}}{x^2 - 4} \] Пусть \( t = \sqrt[3]{x - 6} \), тогда \( x = t^3 + 6 \). При \( x \to -2, t \to -2 \). \[ \lim_{t \to -2} \frac{2 + t}{(t^3 + 6)^2 - 4} = \lim_{t \to -2} \frac{t + 2}{(t^3 + 6 - 2)(t^3 + 6 + 2)} = \lim_{t \to -2} \frac{t + 2}{(t^3 + 4)(t + 2)(t^2 - 2t + 4)} \] \[ = \frac{1}{((-2)^3 + 4)((-2)^2 - 2(-2) + 4)} = \frac{1}{(-4)(4 + 4 + 4)} = -\frac{1}{48} \] Ответ: \( -\frac{1}{48} \). 19. Решение: \[ \lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{6}{x^2 + 2x - 8} \right) \] Разложим знаменатель: \( x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4) \). \[ \lim_{x \to 2} \frac{x + 4 - 6}{(x - 2)(x + 4)} = \lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{(x - 2)(x + 4)} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{x + 4} = \frac{1}{6} \] Ответ: \( \frac{1}{6} \). 20. Решение: \[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{2x + 3}{x^2} - \frac{4}{x^2 + 2x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{(2x + 3)(x + 2) - 4x}{x^2(x + 2)} \] \[ = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + 4x + 3x + 6 - 4x}{x^2(x + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + 3x + 6}{x^2(x + 2)} \] При \( x \to 0 \) числитель стремится к 6, а знаменатель к 0. Предел равен бесконечности. Ответ: \( \infty \). 21. Решение: \[ \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2x^2 + x}{2 - \sqrt{2x + 5}} \] Умножим на сопряженное: \[ \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x(2x + 1)(2 + \sqrt{2x + 5})}{4 - (2x + 5)} = \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x(2x + 1)(2 + \sqrt{2x + 5})}{-2x - 1} \] \[ = \lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x(2x + 1)(2 + \sqrt{2x + 5})}{-(2x + 1)} = \lim_{x \to \frac{1}{2}} -x(2 + \sqrt{2x + 5}) \] \[ = -0,5 \cdot (2 + \sqrt{1 + 5}) = -0,5 \cdot (2 + \sqrt{6}) \] Ответ: \( -1 - \frac{\sqrt{6}}{2} \).