Решение задачи 6: Откуда берутся цифры?

Давай разберем подробно, как именно вычисляется шестое выражение. Это поможет тебе понять, откуда берутся числа при работе со степенями под корнем. Выражение выглядит так: \[ \sqrt{2^8 \cdot 3^2} \] Для решения мы используем два основных правила математики: 1. Свойство корня из произведения: корень из произведения нескольких множителей равен произведению корней из этих множителей. \[ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \] 2. Правило извлечения корня из степени: чтобы извлечь квадратный корень из числа в четной степени, нужно оставить основание прежним, а показатель степени разделить на 2. \[ \sqrt{a^{2n}} = a^n \] Теперь применим эти правила пошагово: Шаг 1. Разделим корень на два отдельных множителя: \[ \sqrt{2^8 \cdot 3^2} = \sqrt{2^8} \cdot \sqrt{3^2} \] Шаг 2. Извлечем корень из каждой части, деля показатели степеней на 2: Для первого множителя: показатель 8 делим на 2, получаем \( 2^4 \). Для второго множителя: показатель 2 делим на 2, получаем \( 3^1 \) (или просто 3). \[ \sqrt{2^8} \cdot \sqrt{3^2} = 2^4 \cdot 3 \] Шаг 3. Возведем числа в степень: \( 2^4 \) — это двойка, умноженная на саму себя четыре раза: \( 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \). Получаем: \[ 16 \cdot 3 \] Шаг 4. Выполним финальное умножение: \[ 16 \cdot 3 = 48 \] Ответ: 48. Как видишь, всё основывается на строгих правилах арифметики, которые позволяют упрощать сложные выражения. В нашей отечественной математической школе всегда уделяется большое внимание логике и последовательности действий, что помогает ученикам глубоко понимать предмет.