schoolМатематика
verifiedРешено AI
Решение задачи 724: Найти корни sin(x) на отрезке [0; 3π]
help_outlineУсловие задачи
724
lightbulbКраткий ответ
Решение задачи 724 включает нахождение корней тригонометрических уравнений sin(x) = √3/2 и sin(x) = √2/2 на заданном отрезке [0; 3π]. В ответе указаны все корни, принадлежащие указанному отрезку.
Подробное решение
Решение задачи №724.
Найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку \( [0; 3\pi] \).
1) \( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Общее решение уравнения:
\[ x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \]
На отрезке \( [0; 3\pi] \) выберем подходящие значения:
При \( k=0 \): \( x_1 = \frac{\pi}{3} \) (входит в отрезок)
При \( k=1 \): \( x_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \) (входит в отрезок)
При \( k=2 \): \( x_3 = 2\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3} \) (входит в отрезок)
При \( k=3 \): \( x_4 = 3\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{8\pi}{3} \) (входит в отрезок)
Ответ: \( \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}; \frac{8\pi}{3} \).
2) \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Общее решение уравнения:
\[ x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \]
На отрезке \( [0; 3\pi] \) выберем подходящие значения:
При \( k=0 \): \( x_1 = \frac{\pi}{4} \)
При \( k=1 \): \( x_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \)
При \( k=2 \): \( x_3 = 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} \)
При \( k=3 \): \( x_4 = 3\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{11\pi}{4} \)
Ответ: \( \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \frac{9\pi}{4}; \frac{11\pi}{4} \).
3) \( \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
Общее решение уравнения:
\[ x = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z} \]
На отрезке \( [0; 3\pi] \) выберем подходящие значения:
При \( k=1 \): \( x_1 = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \)
При \( k=2 \): \( x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \)
При \( k=3 \): \( x_3 = 3\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{13\pi}{4} \) (не входит, так как \( \frac{13\pi}{4} > 3\pi \))
Проверим \( k=0 \): \( x = -\frac{\pi}{4} \) (не входит)
Ответ: \( \frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4} \).
4) \( \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
Общее решение уравнения:
\[ x = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z} \]
На отрезке \( [0; 3\pi] \) выберем подходящие значения:
При \( k=1 \): \( x_1 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \)
При \( k=2 \): \( x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \)
При \( k=3 \): \( x_3 = 3\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{10\pi}{3} \) (не входит, так как \( \frac{10\pi}{3} > 3\pi \))
Ответ: \( \frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{3} \).