Решение задачи: Гармонические колебания простейших механических осцилляторов

Ниже представлены ответы на теоретические вопросы из билета. Записи оформлены так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь. Вопрос 1. Гармонические колебания простейших механических осцилляторов Гармоническими называются колебания, при которых координата тела изменяется по закону синуса или косинуса. 1. Груз на пружине: Рассмотрим груз массы \(m\), прикрепленный к пружине жесткостью \(c\). Если отклонить груз от положения равновесия на величину \(x\), возникнет восстанавливающая сила \(F = -cx\). Согласно второму закону Ньютона: \[ m \ddot{x} = -cx \Rightarrow \ddot{x} + \frac{c}{m}x = 0 \] Обозначив \(k^2 = \frac{c}{m}\) (где \(k\) — циклическая частота), получим дифференциальное уравнение: \[ \ddot{x} + k^2 x = 0 \] Решение уравнения: \(x(t) = A \cos(kt + \alpha)\). Период колебаний: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{c}} \] 2. Математический маятник: Это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной \(l\). При малых углах отклонения \(\phi\) уравнение движения имеет вид: \[ ml \ddot{\phi} = -mg \sin \phi \approx -mg \phi \] \[ \ddot{\phi} + \frac{g}{l} \phi = 0 \] Циклическая частота \(k = \sqrt{\frac{g}{l}}\). Период колебаний (формула Гюйгенса): \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \] Вопрос 2. Определение реакций связей движущейся механической системы методом кинетостатики Метод кинетостатики основан на принципе Даламбера. Принцип Даламбера: если в любой момент времени к заданным (активным) силам и реакциям связей, действующим на точки системы, присоединить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет находиться в равновесии. Для каждой точки системы это записывается уравнением: \[ \vec{F_i} + \vec{R_i} + \vec{F_i^{in}} = 0 \] Где: 1. \(\vec{F_i}\) — активные силы (например, сила тяжести). 2. \(\vec{R_i}\) — реакции связей (сила натяжения нити, нормальная реакция опоры). 3. \(\vec{F_i^{in}} = -m_i \vec{a_i}\) — сила инерции, направленная противоположно ускорению. Порядок решения задач: 1. Выбирается объект исследования и расставляются все действующие на него активные силы. 2. Связи отбрасываются и заменяются их реакциями. 3. Определяются ускорения тел и вносятся силы инерции (направленные против ускорений). 4. Составляются уравнения статического равновесия (\(\sum X = 0\), \(\sum Y = 0\), \(\sum M = 0\)), из которых находятся неизвестные реакции связей. Этот метод удобен тем, что позволяет применять простые методы статики к динамическим задачам. В отечественной инженерной школе данный подход считается классическим и наиболее эффективным для анализа механизмов.