Гармонические колебания простейших механических осцилляторов (Тарг)

Ниже представлено изложение первого теоретического вопроса в соответствии с классическим учебником С.М. Тарга «Краткий курс теоретической механики». Этот материал структурирован для удобного переписывания в тетрадь. Вопрос 1. Гармонические колебания простейших механических осцилляторов Свободными или естественными колебаниями называются такие, которые происходят под действием только внутренних сил системы после того, как она была выведена из состояния равновесия. 1. Дифференциальное уравнение колебаний Рассмотрим груз массы \(m\), совершающий прямолинейное движение под действием восстанавливающей силы \(\vec{F}\), направленной к центру \(O\) (положению равновесия) и пропорциональной расстоянию \(x\) от этого центра: \[ F_x = -cx \] где \(c\) — коэффициент жесткости (или коэффициент восстанавливающей силы). Согласно основному закону динамики: \[ m \ddot{x} = -cx \quad \text{или} \quad m \frac{d^2 x}{dt^2} + cx = 0 \] Разделив на \(m\) и введя обозначение \(k^2 = \frac{c}{m}\), получаем канонический вид уравнения: \[ \ddot{x} + k^2 x = 0 \] 2. Решение уравнения Общим решением этого дифференциального уравнения является функция: \[ x = C_1 \cos(kt) + C_2 \sin(kt) \] или в другой форме: \[ x = A \sin(kt + \alpha) \] где: \(A\) — амплитуда колебаний; \(k = \sqrt{\frac{c}{m}}\) — циклическая частота (число колебаний за \(2\pi\) секунд); \(kt + \alpha\) — фаза колебаний; \(\alpha\) — начальная фаза. 3. Характеристики колебаний по Таргу - Период колебаний \(T\) — время, за которое совершается одно полное колебание: \[ T = \frac{2\pi}{k} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{c}} \] - Частота \(\nu\) — число колебаний в одну секунду: \[ \nu = \frac{1}{T} = \frac{k}{2\pi} \] 4. Примеры осцилляторов - Пружинный маятник: Коэффициент \(c\) определяется жесткостью пружины. Если груз подвешен вертикально, то положение равновесия смещено на величину статического прогиба \(\lambda_{st}\). При этом \(c \lambda_{st} = mg\), откуда \(k^2 = \frac{g}{\lambda_{st}}\). Тогда период: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{\lambda_{st}}{g}} \] - Математический маятник: Для малых отклонений (когда \(\sin \phi \approx \phi\)) сила, возвращающая маятник в положение равновесия, равна \(F = -mg \phi\). Учитывая, что дуга \(s = l\phi\), получаем \(F = -\frac{mg}{l}s\). Здесь роль коэффициента \(c\) играет величина \(\frac{mg}{l}\). Подставляя в общую формулу: \[ k = \sqrt{\frac{mg/l}{m}} = \sqrt{\frac{g}{l}} \Rightarrow T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \] Важный вывод по Таргу: Период свободных гармонических колебаний не зависит от начальных условий (амплитуды и начальной скорости), а определяется только физическими параметрами самой системы (\(m\), \(c\), \(l\)). Это свойство называется изохронностью.