Решение задачи: Гармонические колебания, Тарг, Билет 1

Билет 1 Задание 1 Даны комплексные числа \(z_1 = 2 + 3i\) и \(z_2 = 5 - i\). Найти их произведение. Решение: \[ z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(5 - i) \] Раскрываем скобки: \[ z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot 5 - 2 \cdot i + 3i \cdot 5 - 3i^2 \] Так как \(i^2 = -1\), то: \[ z_1 \cdot z_2 = 10 - 2i + 15i - 3(-1) = 10 + 13i + 3 = 13 + 13i \] Ответ: \(13 + 13i\). Задание 2 а) Решить уравнение \(y'' + 4y = 0\). Составим характеристическое уравнение: \[ k^2 + 4 = 0 \Rightarrow k^2 = -4 \Rightarrow k_{1,2} = \pm 2i \] Корни чисто мнимые (\(\alpha = 0, \beta = 2\)). Общее решение: \[ y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \] б) Решить задачу Коши: \(y'' - 5y' + 6y = 0\), \(y(0)=0, y'(0)=2\). Характеристическое уравнение: \[ k^2 - 5k + 6 = 0 \] По теореме Виета: \(k_1 = 2, k_2 = 3\). Общее решение: \[ y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} \] Найдем производную: \(y' = 2C_1 e^{2x} + 3C_2 e^{3x}\). Подставим начальные условия: 1) \(y(0) = C_1 + C_2 = 0 \Rightarrow C_2 = -C_1\) 2) \(y'(0) = 2C_1 + 3C_2 = 2\) Подставляем \(C_2\): \(2C_1 - 3C_1 = 2 \Rightarrow -C_1 = 2 \Rightarrow C_1 = -2\). Тогда \(C_2 = 2\). Ответ: \(y = -2e^{2x} + 2e^{3x}\). Задание 3 Решить уравнение \(y' + \frac{4y}{x^2} = 5e^{\frac{4}{x}}\). Это линейное уравнение первого порядка. Решим методом Бернулли (замена \(y = uv\)): \[ u'v + uv' + \frac{4uv}{x^2} = 5e^{\frac{4}{x}} \] \[ u'v + u(v' + \frac{4v}{x^2}) = 5e^{\frac{4}{x}} \] 1) Находим \(v\): \(v' + \frac{4v}{x^2} = 0 \Rightarrow \frac{dv}{v} = -\frac{4}{x^2} dx\) \[ \ln|v| = \frac{4}{x} \Rightarrow v = e^{\frac{4}{x}} \] 2) Находим \(u\): \(u' e^{\frac{4}{x}} = 5e^{\frac{4}{x}} \Rightarrow u' = 5\) \[ u = \int 5 dx = 5x + C \] 3) Общее решение: \(y = uv = (5x + C)e^{\frac{4}{x}}\). Ответ: \(y = (5x + C)e^{\frac{4}{x}}\). Задание 4 Решить систему: \[ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = 5x + 4y \\ \frac{dy}{dt} = 2x + 3y \end{cases} \] Выразим \(y\) из первого уравнения: \(4y = x' - 5x \Rightarrow y = \frac{1}{4}x' - \frac{5}{4}x\). Дифференцируем: \(y' = \frac{1}{4}x'' - \frac{5}{4}x'\). Подставим \(y\) и \(y'\) во второе уравнение: \[ \frac{1}{4}x'' - \frac{5}{4}x' = 2x + 3(\frac{1}{4}x' - \frac{5}{4}x) \] Умножим на 4: \(x'' - 5x' = 8x + 3x' - 15x \Rightarrow x'' - 8x' + 7x = 0\). Характеристическое уравнение: \(k^2 - 8k + 7 = 0 \Rightarrow k_1 = 1, k_2 = 7\). \[ x(t) = C_1 e^t + C_2 e^{7t} \] Находим \(y(t)\): \[ y = \frac{1}{4}(C_1 e^t + 7C_2 e^{7t}) - \frac{5}{4}(C_1 e^t + C_2 e^{7t}) = -C_1 e^t + \frac{1}{2}C_2 e^{7t} \] Ответ: \(x = C_1 e^t + C_2 e^{7t}\), \(y = -C_1 e^t + 0.5C_2 e^{7t}\). Задание 5 Установить сходимость ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2^n}\). Воспользуемся признаком Даламбера: \[ a_n = \frac{n!}{2^n}, \quad a_{n+1} = \frac{(n+1)!}{2^{n+1}} \] \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)! \cdot 2^n}{2^{n+1} \cdot n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2} = \infty \] Так как \(L > 1\), ряд расходится. Ответ: ряд расходится.