Анализ плоского напряженного состояния: Решение

8. Анализ плоского напряженного состояния Дано: \[ \sigma_x = 75 \text{ МПа} \] \[ \sigma_y = 65 \text{ МПа} \] \[ \tau_x = 35 \text{ МПа} \] \[ \mu = 0,26 \] \[ \alpha = 20^\circ \] \[ E = 2 \cdot 10^5 \text{ МПа} \] Решение: 1. Определение главных напряжений. Главные напряжения \( \sigma_1 \) и \( \sigma_2 \) определяются по формуле: \[ \sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_x^2} \] Подставим численные значения: \[ \sigma_{1,2} = \frac{75 + 65}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{75 - 65}{2} \right)^2 + 35^2} \] \[ \sigma_{1,2} = 70 \pm \sqrt{5^2 + 35^2} = 70 \pm \sqrt{25 + 1225} = 70 \pm \sqrt{1250} \] \[ \sigma_{1,2} \approx 70 \pm 35,36 \] Отсюда получаем: \[ \sigma_1 = 70 + 35,36 = 105,36 \text{ МПа} \] \[ \sigma_2 = 70 - 35,36 = 34,64 \text{ МПа} \] 2. Определение положения главных площадок. Угол наклона главных площадок \( \alpha_0 \) определяется из выражения: \[ \text{tg}(2\alpha_0) = \frac{2\tau_x}{\sigma_x - \sigma_y} \] \[ \text{tg}(2\alpha_0) = \frac{2 \cdot 35}{75 - 65} = \frac{70}{10} = 7 \] \[ 2\alpha_0 = \text{arctg}(7) \approx 81,87^\circ \] \[ \alpha_0 \approx 40,94^\circ \] 3. Определение напряжений на наклонной площадке под углом \( \alpha = 20^\circ \). Напряжения \( \sigma_\alpha \) и \( \tau_\alpha \) вычисляются по формулам: \[ \sigma_\alpha = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos(2\alpha) + \tau_x \sin(2\alpha) \] \[ \tau_\alpha = \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin(2\alpha) - \tau_x \cos(2\alpha) \] Вычислим значения тригонометрических функций для \( 2\alpha = 40^\circ \): \[ \cos(40^\circ) \approx 0,766 \] \[ \sin(40^\circ) \approx 0,643 \] Подставляем: \[ \sigma_\alpha = 70 + 5 \cdot 0,766 + 35 \cdot 0,643 = 70 + 3,83 + 22,505 = 96,335 \text{ МПа} \] \[ \tau_\alpha = 5 \cdot 0,643 - 35 \cdot 0,766 = 3,215 - 26,81 = -23,595 \text{ МПа} \] 4. Определение главных деформаций. По обобщенному закону Гука для плоского напряженного состояния: \[ \varepsilon_1 = \frac{1}{E} (\sigma_1 - \mu \sigma_2) \] \[ \varepsilon_2 = \frac{1}{E} (\sigma_2 - \mu \sigma_1) \] \[ \varepsilon_3 = -\frac{\mu}{E} (\sigma_1 + \sigma_2) \] Подставим значения: \[ \varepsilon_1 = \frac{1}{2 \cdot 10^5} (105,36 - 0,26 \cdot 34,64) = \frac{105,36 - 9,01}{2 \cdot 10^5} = 4,82 \cdot 10^{-4} \] \[ \varepsilon_2 = \frac{1}{2 \cdot 10^5} (34,64 - 0,26 \cdot 105,36) = \frac{34,64 - 27,39}{2 \cdot 10^5} = 0,36 \cdot 10^{-4} \] \[ \varepsilon_3 = -\frac{0,26}{2 \cdot 10^5} (105,36 + 34,64) = -\frac{0,26 \cdot 140}{2 \cdot 10^5} = -1,82 \cdot 10^{-4} \] Ответ: Главные напряжения \( \sigma_1 = 105,36 \text{ МПа} \), \( \sigma_2 = 34,64 \text{ МПа} \). Напряжения на площадке \( \alpha = 20^\circ \): \( \sigma_\alpha = 96,34 \text{ МПа} \), \( \tau_\alpha = -23,60 \text{ МПа} \).