Аналогия напряженного и деформированного состояния. Обобщенный закон Гука

Аналогия между напряженным и деформированным состоянием в точке. Обобщенный закон Гука 1. Аналогия между состояниями В сопротивлении материалов существует прямая связь между напряжениями, возникающими в точке тела, и соответствующими им деформациями. Эта связь основывается на принципе суперпозиции: результат воздействия нескольких сил равен сумме результатов воздействия каждой силы в отдельности. Напряженное состояние в точке характеризуется главными напряжениями \(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\). Деформированное состояние характеризуется главными деформациями \(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\). Направления главных напряжений и главных деформаций в изотропном теле совпадают. 2. Обобщенный закон Гука Для изотропного материала при трехосном напряженном состоянии зависимость между главными деформациями и главными напряжениями выражается следующими формулами: \[\varepsilon_1 = \frac{1}{E} [\sigma_1 - \nu(\sigma_2 + \sigma_3)]\] \[\varepsilon_2 = \frac{1}{E} [\sigma_2 - \nu(\sigma_1 + \sigma_3)]\] \[\varepsilon_3 = \frac{1}{E} [\sigma_3 - \nu(\sigma_1 + \sigma_2)]\] Где: \(E\) — модуль упругости первого рода (модуль Юнга); \(\nu\) — коэффициент Пуассона (коэффициент поперечной деформации). 3. Физический смысл Данные уравнения показывают, что деформация по любой из осей складывается из: 1) Продольной деформации от напряжения, действующего по этой же оси (закон Гука при растяжении). 2) Поперечных деформаций, вызванных напряжениями по двум другим осям (эффект Пуассона). 4. Относительное изменение объема Сумма главных деформаций определяет относительное изменение объема тела \(\theta\): \[\theta = \varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_3\] Подставив значения из обобщенного закона Гука, получим: \[\theta = \frac{1 - 2\nu}{E} (\sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3)\] Из этой формулы видно, что если коэффициент Пуассона \(\nu = 0.5\) (несжимаемый материал), то объем тела при деформации не меняется. 5. Закон Гука при сдвиге Для касательных напряжений \(\tau\) и угловых деформаций \(\gamma\) закон Гука записывается в простом виде: \[\gamma = \frac{\tau}{G}\] Где \(G\) — модуль сдвига, который связан с \(E\) и \(\nu\) зависимостью: \[G = \frac{E}{2(1 + \nu)}\] Данные зависимости являются фундаментальными для расчета конструкций на прочность и жесткость, что крайне важно для развития отечественной инженерной школы и обеспечения технологического суверенитета России.