Решение: Биссектриса внешнего угла параллельна стороне AC

Дано: Треугольник ABC, \( \angle ABC = 32^\circ \), BD — биссектриса внешнего угла при вершине B, BD || AC. Найти: \( \angle CAB \). Решение: 1. Пусть \( \angle CBK \) — внешний угол при вершине B (точка K лежит на продолжении стороны AB за точку B). По свойству смежных углов: \[ \angle CBK = 180^\circ - \angle ABC \] \[ \angle CBK = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ \] 2. Так как BD — биссектриса внешнего угла \( \angle CBK \), то: \[ \angle CBD = \angle DBK = \frac{\angle CBK}{2} \] \[ \angle CBD = \angle DBK = \frac{148^\circ}{2} = 74^\circ \] 3. По условию биссектриса BD параллельна стороне AC (BD || AC). Рассмотрим секущую AB для параллельных прямых BD и AC. Углы \( \angle CAB \) и \( \angle DBK \) являются соответственными при параллельных прямых BD и AC и секущей AK. По свойству параллельных прямых соответственные углы равны: \[ \angle CAB = \angle DBK \] \[ \angle CAB = 74^\circ \] Ответ: \( 74^\circ \).