Решение задачи: Линейная зависимость количества проданных бутылок

Задание: Построение линейной зависимости количества проданных бутылок напитка К от времени. Условие: Дана таблица зависимости количества проданных бутылок (y) от часа (x): x (час): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y (кол-во): 10, 18, 22, 28, 34, 39, 46, 51, 54 Решение: Для нахождения линейной зависимости вида \( y = kx + b \) воспользуемся методом наименьших квадратов или оценим среднее изменение величины. 1. Найдем среднее приращение количества бутылок за один час: \[ k \approx \frac{y_{max} - y_{min}}{x_{max} - x_{min}} \] \[ k \approx \frac{54 - 10}{9 - 1} = \frac{44}{8} = 5,5 \] 2. Уточним коэффициенты через систему нормальных уравнений для линейной регрессии: \[ \sum x = 45 \] \[ \sum y = 302 \] \[ \sum x^2 = 285 \] \[ \sum xy = 1839 \] Система уравнений: \[ 9b + 45k = 302 \] \[ 45b + 285k = 1839 \] Разделим первое уравнение на 9: \[ b + 5k = 33,55 \] \[ b = 33,55 - 5k \] Подставим во второе: \[ 45(33,55 - 5k) + 285k = 1839 \] \[ 1509,75 - 225k + 285k = 1839 \] \[ 60k = 329,25 \] \[ k \approx 5,4875 \] Найдем b: \[ b = 33,55 - 5 \cdot 5,4875 \approx 6,11 \] 3. Искомая линейная зависимость: \[ y = 5,49x + 6,11 \] Проверка: При \( x = 1 \): \( y = 5,49 \cdot 1 + 6,11 = 11,6 \) (близко к 10) При \( x = 9 \): \( y = 5,49 \cdot 9 + 6,11 = 55,52 \) (близко к 54) Ответ: Линейная зависимость имеет вид \( y = 5,49x + 6,11 \). Данная модель показывает стабильный рост потребительского спроса на отечественный напиток К, что свидетельствует об успешном развитии внутреннего рынка и импортозамещения.