Решение: Дифференциальные уравнения, Вариант 27 (Задача Коши)

Вариант 27 Задача 1. Решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными (задача Коши). \[ x^2(y-1)dy + y(1-x)dx = 0, \quad y(1)=1 \] Разделим переменные, перенеся слагаемое с \( dx \) в правую часть и разделив на \( x^2 y \): \[ x^2(y-1)dy = -y(1-x)dx \] \[ \frac{y-1}{y}dy = \frac{x-1}{x^2}dx \] \[ (1 - \frac{1}{y})dy = (\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2})dx \] Интегрируем обе части: \[ \int (1 - \frac{1}{y})dy = \int (\frac{1}{x} - x^{-2})dx \] \[ y - \ln|y| = \ln|x| + \frac{1}{x} + C \] Подставим начальное условие \( y(1)=1 \): \[ 1 - \ln|1| = \ln|1| + \frac{1}{1} + C \] \[ 1 - 0 = 0 + 1 + C \Rightarrow C = 0 \] Ответ: \( y - \ln|y| = \ln|x| + \frac{1}{x} \) Задача 2. а) Однородное дифференциальное уравнение. \[ x \cdot y' = \sqrt{x^2 - y^2} + y \] Разделим на \( x \): \[ y' = \sqrt{1 - (\frac{y}{x})^2} + \frac{y}{x} \] Сделаем замену \( u = \frac{y}{x} \), тогда \( y = ux \), \( y' = u'x + u \): \[ u'x + u = \sqrt{1 - u^2} + u \] \[ x \frac{du}{dx} = \sqrt{1 - u^2} \] \[ \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}} = \frac{dx}{x} \] Интегрируем: \[ \arcsin(u) = \ln|x| + C \] \[ \arcsin(\frac{y}{x}) = \ln|x| + C \] Ответ: \( y = x \cdot \sin(\ln|x| + C) \) Задача 2. б) Линейное уравнение первого порядка. \[ y' + y = x + 2 \] Решим методом Бернулли, замена \( y = uv \), \( y' = u'v + uv' \): \[ u'v + uv' + uv = x + 2 \] \[ u'v + u(v' + v) = x + 2 \] Пусть \( v' + v = 0 \), тогда \( \frac{dv}{v} = -dx \), \( \ln|v| = -x \), \( v = e^{-x} \). Подставим в уравнение: \[ u' e^{-x} = x + 2 \] \[ du = (x + 2)e^x dx \] \[ u = \int (x + 2)e^x dx = (x + 2)e^x - \int e^x dx = (x + 2)e^x - e^x + C = (x + 1)e^x + C \] Тогда \( y = uv = ((x + 1)e^x + C)e^{-x} \): Ответ: \( y = x + 1 + Ce^{-x} \) Задача 2. в) Уравнение в полных дифференциалах. \[ (x^2 + \sin y)dx + (1 + x \cos y)dy = 0 \] Проверим условие \( \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \): \( P = x^2 + \sin y \Rightarrow \frac{\partial P}{\partial y} = \cos y \) \( Q = 1 + x \cos y \Rightarrow \frac{\partial Q}{\partial x} = \cos y \) Условие выполняется. Найдем функцию \( U(x, y) \): \[ U = \int (x^2 + \sin y)dx = \frac{x^3}{3} + x \sin y + \varphi(y) \] \[ \frac{\partial U}{\partial y} = x \cos y + \varphi'(y) = 1 + x \cos y \] \[ \varphi'(y) = 1 \Rightarrow \varphi(y) = y + C \] Ответ: \( \frac{x^3}{3} + x \sin y + y = C \)