Решение дифференциального уравнения y' = -12x² - 6x - 2, y(0) = 3

Задание: Найти частное решение дифференциального уравнения (задача Коши). Дано: \[ y' = -12x^2 - 6x - 2 \] Начальное условие: \( y(0) = 3 \) Решение: 1. Для нахождения общего решения проинтегрируем правую часть уравнения по \( x \): \[ y = \int (-12x^2 - 6x - 2) dx \] 2. Используем свойства интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов) и табличные формулы: \[ y = -12 \int x^2 dx - 6 \int x dx - 2 \int 1 dx \] \[ y = -12 \cdot \frac{x^3}{3} - 6 \cdot \frac{x^2}{2} - 2x + C \] \[ y = -4x^3 - 3x^2 - 2x + C \] Это общее решение дифференциального уравнения. 3. Найдем значение константы \( C \), используя начальное условие \( y(0) = 3 \). Подставим \( x = 0 \) и \( y = 3 \) в общее решение: \[ 3 = -4 \cdot 0^3 - 3 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 + C \] \[ 3 = 0 - 0 - 0 + C \] \[ C = 3 \] 4. Запишем частное решение, подставив найденное значение \( C \): \[ y = -4x^3 - 3x^2 - 2x + 3 \] Примечание: В данном задании требуется найти первообразную (интеграл), поэтому дискриминант \( D = b^2 - 4ac \) здесь не применяется, так как мы не решаем квадратное уравнение относительно нуля, а выполняем интегрирование функции. Ответ: Частное решение: \( y = -4x^3 - 3x^2 - 2x + 3 \)