Решение задачи на экстремум функции: вариант 27

Вариант 27 Задача: Найти наибольшее и наименьшее значения функции \( z = 4 - 2x^2 - y^2 \) в замкнутой области \( D \), ограниченной прямыми \( x = 0 \), \( y = 0 \), \( x + y = 6 \). Решение: 1. Исследование внутри области \( D \). Найдем частные производные и приравняем их к нулю: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = -4x = 0 \implies x = 0 \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = -2y = 0 \implies y = 0 \] Точка \( M_0(0, 0) \) лежит на границе области. Значение в ней: \[ z(0, 0) = 4 - 2(0)^2 - 0^2 = 4 \] 2. Исследование на границах области. Область \( D \) — это треугольник с вершинами \( A(0, 0) \), \( B(6, 0) \), \( C(0, 6) \). а) Граница \( AB \) (\( y = 0 \), \( 0 \le x \le 6 \)): \[ z = 4 - 2x^2 \] Это убывающая функция на данном отрезке. \[ z(0, 0) = 4 \] \[ z(6, 0) = 4 - 2(36) = -68 \] б) Граница \( AC \) (\( x = 0 \), \( 0 \le y \le 6 \)): \[ z = 4 - y^2 \] Убывающая функция. \[ z(0, 0) = 4 \] \[ z(0, 6) = 4 - 36 = -32 \] в) Граница \( BC \) (\( y = 6 - x \), \( 0 \le x \le 6 \)): \[ z = 4 - 2x^2 - (6 - x)^2 = 4 - 2x^2 - (36 - 12x + x^2) = -3x^2 + 12x - 32 \] Найдем экстремум этой функции: \[ z' = -6x + 12 = 0 \implies x = 2 \] Тогда \( y = 6 - 2 = 4 \). Точка \( M_1(2, 4) \). \[ z(2, 4) = -3(2)^2 + 12(2) - 32 = -12 + 24 - 32 = -20 \] 3. Сравнение результатов: \[ z(0, 0) = 4 \] \[ z(6, 0) = -68 \] \[ z(0, 6) = -32 \] \[ z(2, 4) = -20 \] Наибольшее значение: \( z_{max} = 4 \) в точке \( (0, 0) \). Наименьшее значение: \( z_{min} = -68 \) в точке \( (6, 0) \). 4. Построение графика области \( D \): Для тетради нарисуйте систему координат \( Oxy \). - Проведите ось \( Ox \) и \( Oy \). - Отметьте точку \( (0,0) \). - Отметьте точку \( (6,0) \) на оси \( Ox \). - Отметьте точку \( (0,6) \) на оси \( Oy \). - Соедините точки \( (6,0) \) и \( (0,6) \) прямой линией (это уравнение \( x + y = 6 \)). - Заштрихуйте полученный треугольник внутри этих линий. Это и есть область \( D \).