Что такое доска Гальтона? Решение задачи.

На изображении показана симуляция так называемой "доски Гальтона" (Galton Board) или "квинкункса" (Quincunx). Это не стратегия ставок, а скорее демонстрация принципов теории вероятностей и статистики, в частности, центральной предельной теоремы и нормального распределения. Давайте разберем, что мы видим на экране: 1. **Треугольник Паскаля (Pascal's Triangle):** В верхней части экрана изображен треугольник Паскаля. Каждое число в нем является суммой двух чисел, расположенных над ним. Этот треугольник тесно связан с биномиальными коэффициентами и показывает количество возможных путей, которыми шарик может пройти через ряды штырьков. * Например, в строке 0 есть 1 путь (шарик просто падает). * В строке 1 есть 1 путь налево и 1 путь направо. * В строке 2 есть 1 путь налево-налево, 2 пути налево-направо/направо-налево, 1 путь направо-направо. 2. **Доска Гальтона:** Ниже треугольника Паскаля находится сама доска Гальтона. Это устройство, где шарики падают сверху и отскакивают от штырьков. На каждом штырьке шарик имеет равную вероятность отскочить влево или вправо. В конце пути шарики собираются в вертикальные ячейки. 3. **Нормальное распределение (Normal Distribution):** * По мере того, как все больше шариков падает, их распределение в нижних ячейках начинает напоминать колоколообразную кривую, известную как нормальное распределение (или распределение Гаусса). * На экране мы видим гистограмму, которая показывает количество шариков в каждой ячейке. Эта гистограмма очень хорошо аппроксимируется гладкой кривой нормального распределения, которая также нарисована поверх гистограммы. * Формула нормального распределения также приведена вверху: \[f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\] где: * \(f(x)\) - плотность вероятности * \(\mu\) - математическое ожидание (среднее значение) * \(\sigma\) - стандартное отклонение * \(e\) - основание натурального логарифма (число Эйлера) * \(\pi\) - число Пи 4. **Статистические данные:** * Слева от доски Гальтона показаны степени числа 2 (\(2^0, 2^1, \dots, 2^{13}\)), которые, вероятно, относятся к общему количеству возможных путей или количеству ячеек. * Справа от доски Гальтона также показаны степени числа 2, а также формула для стандартного отклонения выборки: \[S_x = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}}\] где: * \(S_x\) - стандартное отклонение выборки * \(x_i\) - каждое отдельное значение * \(\bar{x}\) - среднее значение выборки * \(n\) - количество наблюдений 5. **Проценты и количество шариков:** В нижней части экрана указаны проценты и количество шариков, попавших в каждую группу ячеек, что соответствует правилу "68-95-99.7" для нормального распределения (то есть, примерно 68% данных находятся в пределах одного стандартного отклонения от среднего, 95% - в пределах двух, и 99.7% - в пределах трех). * Например, мы видим 34.13% и 13.59%, что соответствует стандартным отклонениям от среднего. **Вывод:** Это приложение демонстрирует, как случайные процессы (падение шариков с равной вероятностью влево или вправо) при большом количестве повторений приводят к предсказуемому результату - нормальному распределению. Это фундаментальный принцип в статистике и теории вероятностей, который объясняет многие явления в природе и обществе. Таким образом, это не стратегия ставок, а образовательный инструмент, который наглядно показывает, как работает нормальное распределение и центральная предельная теорема.