Решение задачи №22: График функции и прямая y=kx

Ниже представлено решение задачи №22, оформленное для записи в тетрадь. Задача №22 Постройте график функции \( y = \frac{(x^2 + 4)(x - 1)}{1 - x} \) и определите, при каких значениях \( k \) прямая \( y = kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку. Решение: 1. Найдем область определения функции (ОДЗ): Знаменатель не может быть равен нулю: \[ 1 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \] 2. Упростим выражение функции: Заметим, что \( (1 - x) = -(x - 1) \). Тогда: \[ y = \frac{(x^2 + 4)(x - 1)}{-(x - 1)} \] Сократим на \( (x - 1) \) при условии \( x \neq 1 \): \[ y = -(x^2 + 4) \] \[ y = -x^2 - 4 \] Таким образом, графиком функции является парабола \( y = -x^2 - 4 \) с "выколотой" точкой, абсцисса которой \( x = 1 \). Найдем ординату выколотой точки: \[ y(1) = -1^2 - 4 = -1 - 4 = -5 \] Точка с координатами \( (1; -5) \) не принадлежит графику. 3. Построение графика: Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина находится в точке \( (0; -4) \). Дополнительные точки для построения: Если \( x = 2 \), то \( y = -2^2 - 4 = -8 \). Если \( x = -1 \), то \( y = -(-1)^2 - 4 = -5 \). Если \( x = -2 \), то \( y = -(-2)^2 - 4 = -8 \). 4. Исследование количества общих точек с прямой \( y = kx \): Прямая \( y = kx \) проходит через начало координат \( (0; 0) \). Ровно одна общая точка возможна в двух случаях: Случай А: Прямая проходит через выколотую точку \( (1; -5) \). Подставим координаты точки в уравнение прямой: \[ -5 = k \cdot 1 \Rightarrow k = -5 \] В этом случае прямая пересекает параболу в двух точках, но одна из них выколота, поэтому остается ровно одна общая точка. Случай Б: Прямая касается параболы. Для этого уравнение \( kx = -x^2 - 4 \) должно иметь ровно один корень. \[ x^2 + kx + 4 = 0 \] Уравнение имеет один корень, когда дискриминант \( D = 0 \): \[ D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = k^2 - 16 \] \[ k^2 - 16 = 0 \Rightarrow k^2 = 16 \Rightarrow k = 4 \text{ или } k = -4 \] Проверим, не совпадают ли точки касания с выколотой точкой. При \( k = 4 \): \( x^2 + 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x+2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2 \) (подходит). При \( k = -4 \): \( x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2 \) (подходит). Ответ: \( -5; -4; 4 \).